Astronomie

Neutrinomodellierung in der Friedmann-Gleichung

Neutrinomodellierung in der Friedmann-Gleichung



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Ich versuche Neutrinos in der Friedmann-Gleichung zu modellieren. Ich habe den Fall des Benchmark-Modells behandelt, bei dem wir Materie, Strahlung, Krümmung und die kosmologische Konstante Lambda haben. Ich weiß, dass meine Codierung der Friedmann-Gleichung funktioniert, weil ich die richtigen Plots bei verschiedenen Parametern erhalte, wie Sie unten im Anhang sehen werden.

Einschließlich Neutrinos wird die Friedmann-Gleichung zu

$$ egin{eqnarray} H(z)^2 & = & H_0^2 Big[ (Omega_c + Omega_b) ( 1 + z)^3 + Omega_gamma ( 1 + z) ^4 & + & Omega_{DE} ( 1 + z)^{3(1+w)} + Omega_k ( 1 + z) ^2 + frac{ ho_{ u, tot}(z)}{ rho_{krit,0}} Big]. end{eqnarray} $$

Um nach der Energiedichte als Funktion des Skalierungsfaktors (oder der Rotverschiebung) aufzulösen, können wir nach der Energiedichte durch den folgenden Ausdruck für die Energiedichte einer einzelnen Neutrinospezies auflösen:

$$ ho_ u (T_ u) = frac{g}{(2pi)^3} int frac{sqrt{p^2 + m^2}}{e^{p/T_ u} + 1} d^3 p. $$

Die kritische Energiedichte ist $4870$ MeV/m$^3$. Die Energiedichte der einzelnen Spezies kann als Funktion des Skalenfaktors geschrieben werden, indem die Temperatur als Funktion des Skalenfaktors geschrieben wird. $T$ ist einfach der unten gezeigte Ausdruck geteilt durch a:

In Gleichung 17 können wir schreiben $d^3p$ wie $4pi p^2 dp$ und $g=2$ für eine Neutrino-Spezies. Zu beachten ist auch, dass (17) in natürlichen Einheiten geschrieben wird, wobei $c = h = k = 1$. Ich habe versucht, die Einheiten festzulegen und egal was ich tue, der Dichteparameter der Neutrino-Spezies ist immer sehr klein (Ordnung von $10^{-9}$), wobei sie zwischen 0,0013 und 0,007 von Ryden, Einführung in die Kosmologiegleichung (7.54) liegen sollte.

Ich hatte wirklich gehofft, dass mir jemand bei der Einheitenumrechnung von den natürlichen Einheiten in die richtigen Einheiten helfen kann. Alles andere, was ich herausgefunden habe, kann ich einfach nicht die Einheiten für Gleichung (17) festlegen.

Ohne Neutrinos erhalte ich das folgende Diagramm, das aus verschiedenen Universumsmodellen besteht, und sie sind korrekt, sodass die Codierung nicht das Problem ist. Das Problem ist die Einheitenumrechnung in die richtigen SI-Einheiten von (17).

Sobald ich die Neutrinos herausgefunden habe, möchte ich sehen, wie sie die Universumsmodelle beeinflussen. Jede Hilfe wird sehr geschätzt!


Die Energiedichte eines Fermi-Gases ist $$ ho_{ u}= int ho(p) dp = int E(p)F(p)g(p) dp $$ $$ ho_{ u} = int left(sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} ight)left(exp (E/k_BT) + 1 ight)^ {-1} left(g_s 4pi p^2/h^3 ight) dp$$ in Energieeinheiten pro Volumeneinheit.

Vor der Neutrino-Entkopplung bei $k_B T sim 1$ MeV sind die Neutrinos ultrarelativistisch mit $pc gg m_{ u}c^2$. Nach der Entkopplung ist die Form der Besetzungsindexfunktion $F(p)$ ändert sich nicht - also $F(p) = left(pc/k_BT_{ u}+1 ight)^{-1}$ in der weiteren Entwicklung.

So $$ ho_{ u} = frac{g_s c}{h^3} int frac{ sqrt{p^2 + m_{ u}^2c^2}} {exp(pc/k_BT_ { u}) +1} 4pi p^2 dp$$

Ich verstehe nicht wo du bist $(2pi)^3$ kommt, außer um zu suggerieren, dass das Einheitensystem tatsächlich ist $hbar = 1$.


Materieterm in der Friedmann-Gleichung

Es ist klar, dass für a = ε << 1:
Q0 2 << 1 und F(a) a -3 .
Auch für 1-a = e << 1:
Q0 2 1 und F(a) a -4 .

Das Folgende ist die Ableitung des modifizierten F(a).


Inhalt

Die Friedmann-Gleichungen gehen von der vereinfachenden Annahme aus, dass das Universum räumlich homogen und isotrop ist, d.h. das kosmologische Prinzip empirisch, dies ist auf Skalen größer als gerechtfertigt

100 Mpc. Das kosmologische Prinzip impliziert, dass die Metrik des Universums die Form

wo ist eine dreidimensionale Metrik, die einer von . sein muss (ein) flacher Raum, (b) eine Kugel mit konstanter positiver Krümmung oder (c) ein hyperbolischer Raum mit konstanter negativer Krümmung. Der Parameter Die unten diskutierten Werte nehmen in diesen drei Fällen jeweils den Wert 0, 1, –1 an. Es ist diese Tatsache, die es uns erlaubt, vernünftig von einem "Skalierungsfaktor" zu sprechen, .

Einsteins Gleichungen beziehen nun die Entwicklung dieses Skalenfaktors auf den Druck und die Energie der Materie im Universum. Aus der FLRW-Metrik berechnen wir Christoffel-Symbole und dann den Ricci-Tensor. Mit dem Spannungs-Energie-Tensor für ein perfektes Fluid setzen wir sie in Einsteins Feldgleichungen ein und die resultierenden Gleichungen werden unten beschrieben.


Astroteilchen und Primordiale Kosmologie_S3

1. Quellen und Transport von Teilchen im Universum
• Quellen und ihre Umgebung: Produktions- und Beschleunigungsmechanismen
• Beispiele für Quellen: Supernova-Überreste, binäre Systeme, aktive galaktische Kerne, Gammastrahlen-Burster.
• Transport: Allgemeine Aspekte, Fall der Wechselwirkung kosmischer Strahlung mit dem CMB: "GZK-Cut-off", Fall der Ausbreitung von Gammastrahlen.

2. Kosmische Strahlung auf der Erde
• Primäre kosmische Strahlung: Zusammensetzung und Fluss. Experimentelle Aspekte: Satelliten, Ballons.
• Sekundäre kosmische Strahlung: Atmosphärische Schauer, Sekundärteilchen auf Meereshöhe und unter der Erde. Experimentelle Aspekte: Nachweis (Beispiele: KASCADE, AUGER).

3. Gammastrahlen-Astronomie
• Methoden: Satelliten: Beispiel für bodengestützte FERMI-Detektoren: Imaging Atmospheric Cherenkov Telescopes (Beispiel für H.E.S.S.), Arrays von Detektoren (Beispiel für HAWC),
• Studien mit mehreren Wellenlängen: Kombination von Beobachtungen von Radio- bis Gammastrahlen.

4. Andere Boten
• Suche nach astrophysikalischen Neutrinos: Neutrino-Teleskope: ICECUBE, ANTARES,
• Gravitationswellen: LIGO, VIRGO,
• Multi-Messenger-Aspekte.

5. Dunkle Materie (DM)
• Phänomenologischer Kontext: Warum die DM? Was ist DM?
• Nachweistechniken und Stromgrenzen: direkter und indirekter Nachweis.

Primordiale Kosmologie (20 h)

1. Thermodynamik des Uruniversums:
• Friedmann-Modelle (Zusammenfassung).
• Das frühe Universum: Gleichgewichtsthermodynamik, Entropie, Phasenübergänge und thermische Geschichte.
• Urknall-Nukleosynthese: Numerische Modellierung und Vergleich mit neueren Beobachtungen,
• Thermodynamik im expandierenden Universum: Boltzmann-Gleichung, Einfrieren und Entstehung von Spezies (CDM, HDM, WIMPS), Zerfall außerhalb des Gleichgewichts, Rekombination. Kosmologie der Neutrinos. Baryogenese.
Anwendungen (learning-by-doing): Lithiumhäufigkeit, Häufigkeit von WIMPZILLA und UHECR, Lee-Weinberg gebunden.

2. Quantenschwankungen während der Inflation:
• Klein-Gordon-Gleichung im expandierenden Universum, lineare Störungen und Quantisierung von masselosem und massivem Inflaton, Eichinvarianz.
• Metrische Fluktuationen, Eichinvarianz, Quanten-zu-Klassik-Übergang, Krümmung und Materiestörungen, Gravitationswellen, Skalar- und Tensorleistungsspektren, Konsistenzbeziehungen.
• Primordiale Nicht-Gaussianitäten (fNL, gNL). Aufwärmen, Vorwärmen.
Anwendungen (learning-by-doing): numerische Lösung der KG-Gleichung für einige
Inflationsmodell (Potenzgesetz, Lambda phi^4 , hybrid, natürlich), Untersuchung des dynamischen Systems.

3. Kosmischer Mikrowellenhintergrund:
• Rekombination und Entkopplung.
• Monopol, Dipol und Restfluktuationen. Sphärische Statistik.
• Temperaturschwankungen: kinetische Beschreibung, Sachs-Wolfe-Plateau, akustische Peaks, sekundäre Anisotropien. Lärmquellen und Kartenerstellung: Staubabsorption, Synchrotronstrahlung und Bremsstrahlung. Polarisation: E- und B-Moden, Gravitationswellen.
Anwendungen (learning-by-doing): Verwendung von Boltzmann-Codes (CAMB, CLASS) zur Simulation von CMB-Spektren und -Karten.

4. Vom Post-Rekombinations-Universum zur großräumigen Struktur:
• Von CMB bis ins Dunkle Zeitalter, Ionisationsquellen von H und He. Lyman-Systeme und LyA-Wald, IGM-Schwankungen, Gunn-Peterson-Effekte. 21-cm-Kosmologie.
• Dichte- und Geschwindigkeitsfelder: Jeans-Modellierung, Zel'dovich-Approximation.
• Statistik von Schwankungen auf großen Skalen: Zählungen, Korrelationsfunktionen, Leistungsspektrum.
• Kugelkollaps, Massenfunktion, Bias-Halo-Modell.
Anwendungen (learning-by-doing): Numerische Lösung der Jeans-Gleichung in der Neutrino-Kosmologie, Schätzung der Anzahl massiver Cluster in Kosmologien mit pNG (fNL).

5. Statistische Analyse kosmologischer Modelle:
• Kombination von Sonden zur Extraktion kosmologischer Parameter. Entartungen.
• Frequentistische und Bayesianische Ansätze: Gittermethode, Gradientenmethode, MCMC.
• Prognosen: Fisher-Analyse und Monte-Carlo-Simulation. Modellierung der Systematik.
Anwendungen (Learning-by-Doing): Anpassen des Hubble-Diagramms von Supernovae
(Union 2) und CMB TT Leistungsspektrum (WMAP oder Planck), Fisher-Matrix von
Cluster zählt für fNL.


Neutrinomodellierung in der Friedmann-Gleichung - Astronomie

3.2 Dynamik der Expansion

EXPANSION UND GEOMETRIE Die Bewegungsgleichung für den Skalierungsfaktor kann auf quasi-Newtonsche Weise erhalten werden. Betrachten Sie eine Kugel um einen beliebigen Punkt, und der Radius sei R (t) r, wo r ist willkürlich. Die Bewegung eines Punktes am Rand der Kugel wird in der Newtonschen Gravitation nur durch die innere Masse beeinflusst. Wir können daher sofort eine Differentialgleichung aufschreiben Friedmann-Gleichung), die die Energieerhaltung ausdrückt: r) 2 / 2 - GM / (Rr) = konstant. Um so weit zu kommen, benötigen wir die allgemeine Relativitätstheorie: Die Gravitation von Massenschalen in großen Entfernungen ist nicht Newtonsch, und daher können wir nicht das übliche Argument verwenden, dass ihr Effekt null ist. Tatsächlich gilt das Ergebnis, dass das Gravitationsfeld innerhalb einer einheitlichen Schale Null ist, in der Allgemeinen Relativitätstheorie und wird als Der Satz von Birkhoffhoff (siehe Kapitel 2). Die Allgemeine Relativitätstheorie wird noch wichtiger, wenn sie uns die Integrationskonstante in der Friedmann-Gleichung [Problem 3.1] gibt:

Beachten Sie, dass diese Gleichung alle Beiträge zu umfasst, d. h. die von Materie, Strahlung und Vakuum, sie ist unabhängig von der Zustandsgleichung. Eine gängige Abkürzung für relativistische kosmologische Modelle, die durch die Robertson-Walker-Metrik beschrieben werden und der Friedmann-Gleichung gehorchen, ist FRW-Modelle.

Die Friedmann-Gleichung zeigt, dass ein Universum mit räumlich geschlossen (mit k = +1) hat eine negative Gesamtenergie: die Expansion wird schließlich durch die Schwerkraft gestoppt und das Universum wird wieder zusammenbrechen. Umgekehrt ist ein ungebundenes Modell räumlich offen (k = -1) und wird sich für immer ausdehnen. Das ist wunderbar einfach: Die Dynamik des gesamten Universums entspricht der einer Kanonenkugel, die senkrecht gegen die Erdanziehungskraft abgefeuert wird. So wie die Schwerkraft der Erde eine Fluchtgeschwindigkeit für Projektile definiert, so wird sich ein Universum, das sich ausreichend schnell ausdehnt, für immer weiter ausdehnen. Umgekehrt gilt für eine gegebene Expansionsgeschwindigkeit a kritische Dichte das wird die Expansion asymptotisch zum Stillstand bringen:

Diese Verbindung zwischen der Expansionsrate des Universums und seiner globalen Geometrie ist ein erstaunliches und tiefgreifendes Ergebnis. Der Beweis der oben zitierten Gleichung ist ``nur'' eine Frage der Einfügung der Robertson-Walker-Metrik in die Feldgleichungen [Problem 3.1], aber es stellt sich unweigerlich die Frage, ob es eine quasi-Newtonsche Sichtweise gibt, dass das Ergebnis muss wahr sein, die Antwort lautet ``fast''. Beachten Sie zunächst, dass sich jedes offene Modell in Richtung einer unverzögerten Expansion entwickeln wird, vorausgesetzt, seine Zustandsgleichung ist so, dass R 2 ist eine fallende Funktion von R - die potentielle Energie wird gegenüber der Gesamtenergie vernachlässigbar und tendiert zu einer Konstanten. In dieser massefreien Grenze kann es keine räumliche Krümmung geben und die offene RW-Metrik muss nur eine Koordinatentransformation der Minkowski-Raumzeit sein. Wir werden die Transformation später in diesem Kapitel zeigen und zeigen, dass sie impliziert R = ct für dieses Modell beweist die k = -1 Fall.

Eine alternative Angriffslinie besteht darin, die Friedmann-Gleichung in Bezug auf den Hubble-Parameter umzuschreiben:

Betrachten Sie nun das Halten der lokalen Observablen H und fest, aber zunehmend R ohne Limit. In der RW-Metrik entspricht dies eindeutig dem Gehen zum k = 0-Form: Die Skala der räumlichen Krümmung geht ins Unendliche und die mitbewegte Trennung für jede gegebene richtige Trennung geht gegen Null, so dass die mitbewegte Geometrie von der euklidischen Form nicht mehr zu unterscheiden ist. Auch in diesem Fall ist die potentielle und kinetische Energie viel größer als die Gesamtenergie, so dass die rhs der Friedmann-Gleichung effektiv Null ist. Dies stellt die k = 0 Fall, so dass das geschlossene Universum als einziger hartnäckiger Widerstand gegen Newtonsche Argumente bleibt.

Manchmal ist es praktisch, mit der zeitlichen Ableitung der Friedmann-Gleichung zu arbeiten, aus dem gleichen Grund, wie Beschleunigungsargumente in der Dynamik manchmal transparenter sind als Energieargumente. Die zeitliche Differenzierung erfordert die Kenntnis von , die aber durch die Energieerhaltung beseitigt werden kann: d [ c 2 R 3 ] = -pd [R 3 ]. Wir erhalten dann

Sowohl diese Gleichung als auch die Friedmann-Gleichung entstehen tatsächlich als unabhängige Gleichungen aus verschiedenen Komponenten der Einsteinschen Gleichungen für die RW-Metrik [Problem 3.1].

DICHTUNGSPARAMETER ETC. Das ``flache'' Universum mit k = 0 ergibt sich für ein bestimmtes kritische Dichte. Wir sind daher veranlasst, a . zu definieren Dichteparameter als Verhältnis von Dichte zu kritischer Dichte:

Seit und H sich mit der Zeit ändern, definiert dies einen epochenabhängigen Dichteparameter. Der aktuelle Wert des Parameters sollte strikt mit bezeichnet werden 0. Da dies ein so häufiges Symbol ist, werden wir die Formeln übersichtlich halten, indem wir normalerweise den Index weglassen, der Dichteparameter in anderen Epochen wird durch (z). Die kritische Dichte hängt daher nur von der Geschwindigkeit ab, mit der sich das Universum ausdehnt. Definieren wir nun auch einen dimensionslosen (aktuellen) Hubble-Parameter als

dann kann die aktuelle Dichte des Universums ausgedrückt werden als

Ein aussagekräftiges Näherungsmodell für den Energiegehalt des Universums besteht darin, es in drucklose Materie ( R -3 ), Strahlung ( R -4 ) und Vakuumenergie ( konstant). Die ersten beiden Beziehungen sagen nur, dass die Anzahldichte von Teilchen durch die Expansion verdünnt wird, wobei Photonen auch ihre Energie um die Rotverschiebung reduziert haben die dritte Beziehung gilt für Einsteins kosmologische Konstante. In Bezug auf Observablen bedeutet dies, dass die Dichte geschrieben wird als

(Einführung des normalisierten Skalierungsfaktors ein = R / R0). Für manche Zwecke ist diese Trennung unnötig, da die Friedmann-Gleichung alle Beiträge zum Dichteparameter gleich behandelt:

Also eine Wohnung k = 0 Universum erfordert ich = 1 zu jeder Zeit, unabhängig von der Form der Beiträge zur Dichte, auch wenn die Zustandsgleichung nicht auf diese einfache Weise zerlegt werden kann.

In Bezug auf die Verzögerungsparameter,

die Form der Friedmann-Gleichung besagt, dass

was impliziert q = 3ich / 2 + 2r -1 für ein flaches Universum. Eines der klassischen Probleme der Kosmologie besteht darin, diese Beziehung experimentell zu überprüfen.

Schließlich ist es oft notwendig, den Barwert des Skalierungsfaktors zu kennen, der direkt aus der Friedmann-Gleichung abgelesen werden kann:

Die Hubble-Konstante setzt somit die Krümmungslänge, die unendlich groß wird, je näher man sich der Einheit aus beiden Richtungen nähert. Erst im Grenzbereich der Dichte Null wird diese Länge gleich dem anderen üblichen Maß für die Größe des Universums - dem Hubble-Länge, CH0.

LÖSUNGEN FÜR DIE FRIEDMANN-GLEICHUNG Die Friedmann-Gleichung wird so genannt, weil Friedmann 1922 als erster erkannte, dass Einsteins Gleichungen nur kosmologische Lösungen zuließen, die nur Materie enthielten (obwohl es Lemaître war, der 1927 die Lösung erhielt und erkannte, dass sie zu einer linearen Entfernungs-Rotverschiebungs-Beziehung). Der Begriff Friedmann-Modell wird daher oft verwendet, um eine reine Materiekosmologie anzuzeigen, obwohl seine Gleichung Beiträge aus allen Zustandsgleichungen enthält.

Die Friedmann-Gleichung kann am einfachsten in ``parametrischer'' Form gelöst werden, indem man sie in Bezug auf die konforme Zeit umformt d = c dt / R (Bezeichnung von Ableitungen in Bezug auf durch Primzahlen):

weil H0 2 R0 2 = kc 2 / ( - 1), die Friedmann-Gleichung wird

die einfach zu integrieren ist, vorausgesetzt v = 0. Auflösen der Friedmann-Gleichung nach R(t) Auf diese Weise ist es wichtig, globale Größen wie das gegenwärtige Alter des Universums zu bestimmen, und im Folgenden werden explizite Lösungen für spezielle Fälle betrachtet. Aus der Sicht der Beobachtungen und insbesondere der Entfernungs-Rotverschiebungs-Beziehung ist es jedoch nicht notwendig, auf dem direkten Weg der Bestimmung zu gehen R(t).

Für den Beobachter ist die Entwicklung des Skalierungsfaktors am direktesten durch die Änderung des Hubble-Parameters mit Rotverschiebung und des Dichteparameters durch die Entwicklung von . gekennzeichnet H(z) und (z) ist unmittelbar durch die Friedmann-Gleichung in der Form H 2 = 8 G / 3 - kc 2 / R 2. Einfügen der obigen Abhängigkeit von on ein gibt

Dies ist eine entscheidende Gleichung, die verwendet werden kann, um den Zusammenhang zwischen Rotverschiebung und Mitbewegungsabstand zu erhalten. Die radiale Bewegungsgleichung für ein Photon ist R dr = c dt = c dR / = c dR / (RH). Mit R = R0 / (1 + z), das gibt

Diese Beziehung ist wohl die wichtigste Gleichung in der Kosmologie, da sie zeigt, wie die mitbewegte Distanz zu den Observablen der Rotverschiebung, der Hubble-Konstante und den Dichteparametern in Beziehung gesetzt wird. Die mitbewegte Distanz bestimmt die scheinbare Helligkeit entfernter Objekte, und das mitbewegte Volumenelement bestimmt die Anzahl der beobachteten Objekte. Diese Aspekte der beobachtenden Kosmologie werden weiter unten in Abschnitt 3.4 ausführlicher erörtert.

Schließlich verwenden Sie den Ausdruck für H(z) mit (ein) - 1 = kc 2 / (H 2 R 2 ) gibt die Rotverschiebungsabhängigkeit des Gesamtdichteparameters an:

Diese letzte Gleichung ist sehr wichtig. Es sagt uns, dass bei hoher Rotverschiebung alle Modelluniversen außer denen mit nur Vakuumenergie dazu neigen, wie das = 1-Modell auszusehen. Dies ist angesichts der Form der Friedmann-Gleichung nicht überraschend: vorausgesetzt R 2 -> wie R -> 0, die -kc 2 Krümmungsterm wird zu einem frühen Zeitpunkt vernachlässigbar. Wenn 1, dann in der fernen Vergangenheit (z) muss sich geringfügig von der Einheit unterschieden haben: Dichte und Expansionsgeschwindigkeit mussten fein ausbalanciert sein, damit sich das Universum bis in die Gegenwart ausdehnen konnte. Diese Abstimmung der Anfangsbedingungen heißt Ebenheitsproblem und ist einer der Beweggründe für die Anwendung der Quantentheorie auf das frühe Universum, die in späteren Kapiteln diskutiert werden.

MATTERDOMINIERTES UNIVERSUM Aus der beobachteten Temperatur des Mikrowellenhintergrunds (2,73 K) und der Annahme von drei Neutrinoarten bei einer etwas niedrigeren Temperatur (siehe spätere Kapitel) leiten wir ab, dass der relativistische Gesamtdichteparameter r ha 2 4,2 x 10 -5 , daher sollte es derzeit eine gute Näherung sein, Strahlung zu ignorieren. Die unterschiedliche Rotverschiebungsabhängigkeit von Materie und Strahlungsdichte lässt diese Annahme jedoch früh scheitern: ich / r (1 + z) -1 . Eine der kritischen Epochen in der Kosmologie ist daher der Punkt, an dem diese Beiträge gleich waren: die Rotverschiebung von Materie-Strahlungs-Gleichheit

Bei höheren Rotverschiebungen wurde die universelle Dynamik vom relativistischen Teilchengehalt dominiert. Durch einen im Folgenden diskutierten Zufall steht diese Epoche einem anderen wichtigen Ereignis in der kosmologischen Geschichte nahe: Rekombination. Sobald die Temperatur unter 10 4 K fällt, kann ionisiertes Material neutralen Wasserstoff bilden. Erst ab diesem Zeitpunkt ist beobachtende Astronomie möglich, da die Thomson-Streuung an Elektronen in ionisiertem Material die Photonenausbreitung verhindert. In der Praxis begrenzt dies die maximale Rotverschiebung von Beobachtungsinteresse auf etwa 1000 (wie ausführlich in Kapitel 9 diskutiert wird), es sei denn, sie ist sehr niedrig oder die Vakuumenergie ist wichtig, ein materiedominiertes Modell ist daher eine gute Annäherung an die Realität.

Durch Erhaltung der Materie können wir eine charakteristische Masse einführen M*, und daraus ein charakteristischer Radius R*:

wobei wir den Ausdruck für verwendet haben R0 im ersten Schritt. Wenn nur Materie vorhanden ist, ist die zeitkonforme Version der Friedmann-Gleichung einfach zu integrieren für R () und Integration von dt = d / R gibt t ():

Diese zykloide Lösung ist ein Spezialfall der allgemeinen Lösung für die Entwicklung einer kugelförmigen Massenverteilung: R = EIN [1 - Ck ()], t = B [ - Sk ()], wo EIN 3 = GMB 2 und die Masse M muss nicht die Masse des Universums sein. Im allgemeinen Fall ist die Variable bekannt als Entwicklungswinkel sie ist nur im Spezialfall der Lösung der Friedmann-Gleichung gleich der konformen Zeit. Wir werden diese Lösung später verwenden, um die Entwicklung von Dichteinhomogenitäten zu untersuchen. Die Entwicklung von R(t) in dieser Lösung ist in Abbildung 3.4 aufgetragen. Besonders hervorzuheben ist, dass das Verhalten zu frühen Zeiten immer gleich ist: potentielle und kinetische Energien übersteigen die Gesamtenergie bei weitem und wir haben immer die k = 0 Form R t 2/3 .

Die parametrische Lösung kann nicht zu R(t), aber es ist eindeutig möglich nach . aufzulösen t (R). Dies wird am einfachsten durch den Dichteparameter und das Alter des Universums in einem bestimmten Stadium seiner Entwicklung ausgedrückt:

Wenn wir die Rotverschiebungsabhängigkeiten von einsetzen H(z) und (z),

Dies gibt uns die Zeit-Rotverschiebungs-Beziehung. Ein alternativer Weg zu diesem Ergebnis wäre die Verwendung des allgemeinen Differentialausdrucks für die mitbewegte Distanz dr / dz schon seit c dt = [R0 / (1 + z)] DR, dies gibt das Alter des Universums als Integral an z.

Eine genaue und sehr nützliche Annäherung an das obige genaue Ergebnis ist

die zwischen dem genauen Alter von inter interpoliert H -1 für ein leeres Universum und 2/3 H -1 für ein Modell mit kritischer Dichte = 1.

MATERIAL PLUS STRAHLUNG HINTERGRUND Die parametrische Lösung lässt sich auf elegante Weise auf ein Universum mit einer Mischung aus Materie und Strahlung erweitern. Angenommen, wir schreiben die Masse hinein R wie

spiegeln die R -3 und R -4 Abhängigkeiten von Materie bzw. Strahlungsdichte. Definieren Sie nun dimensionslose Massen der Form ja GM / (c 2 R0), die sich auf reduzieren jaHerr = k Herr / [2( - 1)]. Die parametrischen Lösungen werden dann

MODELLE MIT VAKUUMENERGIE Die Lösung der Friedmann-Gleichung wird komplizierter, wenn wir einen signifikanten Beitrag der Vakuumenergie – also eine von Null verschiedene kosmologische Konstante – zulassen. Eine detaillierte Diskussion des Problems wird von Felten & Isaacman (1986) und Carroll, Press & Turner (1992) gegeben, die wichtigsten Merkmale werden im Folgenden skizziert.

Die Friedmann-Gleichung selbst ist unabhängig von der Zustandsgleichung und sagt nur H 2 R 2 = kc 2 / ( - 1), unabhängig von der Form der Beiträge an . Bezogen auf die kosmologische Konstante selbst gilt

STATISCHES UNIVERSUM Der Grund, warum die kosmologische Konstante zuerst von Einstein eingeführt wurde, war nicht einfach, weil es keinen allgemeinen Grund gab, zu erwarten, dass der leere Raum die Dichte Null hat, sondern weil sie die Konstruktion einer nicht expandierenden Kosmologie ermöglicht. Dies ist aus einigen Formen der Friedmann-Gleichung vielleicht nicht so offensichtlich, da jetzt H = 0 und = wenn wir die Gleichung in ihre ursprüngliche Form umwandeln, ohne diese Parameter zu definieren, dann impliziert die Nullentwicklung

Da beide Vorzeichen haben können, scheint dies keine Einschränkung zu sein k. Wir wollen aber auch für dieses Modell die Beschleunigung Null haben und brauchen daher die zeitliche Ableitung der Friedmann-Gleichung: = -4 GR ( + 3p) / 3. Eine weitere Bedingung für ein statisches Modell ist daher, dass

Da = -p für Vakuumenergie, und dies ist die einzige Druckquelle, wenn wir die Strahlung ignorieren, sagt uns dies = 3vac und daher ist die Massendichte das Doppelte der Vakuumdichte. Die Gesamtdichte ist somit positiv und k = 1 haben wir ein geschlossenes Modell.

Beachten Sie, dass dies besagt, dass eine positive Vakuumenergie abstoßend wirkt und die Anziehungskraft normaler Materie ausgleicht. Dies hängt mit der Idee von + 3 . zusammenp als effektive Quellendichte für die Schwerkraft. Allein diese Erkenntnis sollte uns klar machen, dass das statische Modell nicht stabil sein kann: Wenn wir den Skalierungsfaktor um einen kleinen positiven Betrag verändern, bleibt die Vakuumabstoßung unverändert, während die ``normale'' Gravitationsanziehung reduziert wird, so dass das Modell tendenziell weiter auszudehnen (oder zusammenzuziehen, wenn die anfängliche Störung negativ war). In dieser Richtung hätte eine ordentliche Wissenschaftsgeschichte von Einstein verlangt, das expandierende Universum vor seiner Beobachtung vorherzusagen. Es ist jedoch vielleicht nicht so überraschend, dass diese Vorhersage nie eindeutig gemacht wurde, obwohl in den Jahren vor Hubbles Arbeit expandierende Modelle von Lemaître und Friedmann untersucht wurden. Damals wurde die Idee einer quasi-Newtonschen Herangehensweise an die Kosmologie nicht entwickelt. Die übliche Schwierigkeit, eine klare physikalische Interpretation von Lösungen für Einsteins Gleichungen zu erhalten, verdunkelte die Bedeutung des expandierenden Universums selbst für seine Schöpfer.

DE SITTER SPACE Bevor zum allgemeinen Fall übergegangen wird, lohnt es sich, den Endpunkt einer äußeren Störung von Einsteins statischem Modell zu betrachten, das zuerst von de Sitter untersucht und nach ihm benannt wurde. Dieses Universum wird vollständig von Vakuumenergie dominiert und ist eindeutig die Grenze der instabilen Expansion, da die Dichte der Materie gegen Null rotverschiebt, während die Vakuumenergie konstant bleibt. Betrachten Sie noch einmal die Friedmann-Gleichung in ihrer allgemeinen Form 2 - 8 G R 2 / 3 = -kc 2 : da die Dichte konstant ist und R unbegrenzt zunehmen, die beiden Terme auf der linken Seite müssen schließlich fast genau gleich werden und der Krümmungsterm auf der rechten Seite wird vernachlässigbar sein. Also auch wenn k 0 wird das Universum eine Dichte haben, die sich nur infinitesimal von der kritischen unterscheidet, sodass wir die Gleichung lösen können, indem wir k = 0, in diesem Fall

Eine interessante Interpretation dieses Verhaltens wurde in den frühen Tagen der Kosmologie von Eddington gefördert: Die kosmologische Konstante ist was verursacht die Erweiterung. In Modellen ohne ist die Expansion nur eine Anfangsbedingung: Wer fragt, warum sich das Universum in einer bestimmten Epoche ausdehnt, bekommt die unbefriedigende Antwort, dass es sich zu einem früheren Zeitpunkt ausdehnt, und diese Argumentationskette stößt auf eine Barriere bei t = 0. Es wäre befriedigender, einen Mechanismus zu haben, der die Expansion in Bewegung setzt, und dies wird durch die Vakuumabstoßung bereitgestellt. Diese Tendenz von Modellen mit Positiv, am Ende eine exponentielle Expansionsphase (und noch dazu eine mit = 1) zu durchlaufen, wird gerade in der inflationären Kosmologie genutzt, um die Anfangsbedingungen für den Urknall zu generieren.

DAS STEADY-STATE-MODELL Das Verhalten des de Sitter-Raums erinnert in gewisser Weise an den stationäres Universum, die in den 1960er Jahren populär war. Diese Theorie bezog ihre Motivation aus den philosophischen Problemen von Urknallmodellen - die in einer Singularität bei . beginnen t = 0, und für die frühere Zeiten keine Bedeutung haben. Stattdessen schlugen Hoyle, Bondi und Gold vor, perfektes kosmologisches Prinzip in der das Universum nicht nur räumlich, sondern auch zeitlich homogen ist: Abgesehen von lokalen Schwankungen erscheint das Universum allen Beobachtern zu allen Zeiten gleich. Dies sagt uns, dass die Hubble-Konstante wirklich konstant ist, und daher hat das Modell notwendigerweise eine exponentielle Expansion, R exp(Ht), genau wie für den Sitter-Raum. Außerdem ist es notwendig, dass k = 0, wie man sieht, wenn man den transversalen Teil der Robertson-Walker-Metrik betrachtet: d 2 = [R(t) Sk (r) d ] 2. Dies hat die Konvention, dass r ist eine dimensionslose mitbewegte Koordinate, wenn wir durch teilen R0 und ändern Sie den physischen Radius r', wird die Metrik d 2 = [a (t) R0 Sk (r' / R0) d ] 2. Der aktuelle Skalierungsfaktor R0 spielt nun die Rolle einer Krümmungslänge, die den Abstand bestimmt, über den das Modell räumlich euklidisch ist. Ein solcher Krümmungsradius muss jedoch im stationären Modell konstant sein, daher besteht die einzige Möglichkeit darin, dass er unendlich ist und dass k = 0. Wir sehen also, dass der de Sitter-Raum ein stationäres Universum ist: Er enthält eine konstante Vakuumenergiedichte und hat ein unendliches Alter, ohne jegliche Urknall-Singularität. In diesem Sinne sind einige Aspekte des Steady-State-Modells in der inflationären Kosmologie wiederbelebt worden. Der de Sitter-Raum ist jedoch ein eher uninteressantes Modell, da er keine Materie enthält. Die Einführung von Materie in ein stationäres Universum verstößt gegen die Energieerhaltung, da Materie nicht die p = - c 2 Zustandsgleichung, die es ermöglicht, dass die Dichte konstant bleibt. Dies ist der radikalste Aspekt von stationären Modellen: Sie erfordern kontinuierliche Kreation der Materie. Die Energie, um dies zu erreichen, muss von irgendwoher kommen, und Einsteins Gleichungen werden modifiziert, indem man etwas ``Schöpfung'' oder `` . hinzufügtC-field''-Term zum Energie-Impuls-Tensor:

Der Effekt dieses zusätzlichen Termes muss darin bestehen, die Materiedichte und den Druck aufzuheben, so dass nur die gesamte effektive Form des Vakuumtensors übrig bleibt, der erforderlich ist, um den Sitter-Raum und die exponentielle Expansion zu erzeugen. Diese Ad hoc Feld und das Fehlen jeglicher physikalischer Motivation dafür, über das kosmologische Problem hinaus, das es lösen sollte, war immer das unbefriedigendste Merkmal des stationären Modells und kann die starken Reaktionen erklären, die von der Theorie erzeugt werden. Sicherlich hat die Debatte zwischen Steady-State-Anhängern und Protagonisten des Urknalls in den 1960er Jahren einige denkwürdige Vitriol-Demonstrationen hervorgebracht. Zu Beginn des Jahrzehnts ging es um die Frage, ob die richtige Dichte aktiver Galaxien konstant war, wie vom Steady-State-Modell vorhergesagt. Da sich die Zähldaten der Radioquellen zu dieser Zeit in einem etwas primitiven Zustand befanden, blieb die Debatte bis zur Entdeckung des Mikrowellenhintergrunds im Jahr 1965 ergebnislos. Für viele bedeutete dies das Ende des stationären Universums, aber Zweifel blieben über ob die Strahlung von interstellarem Staub stammen könnte. Diese wurden vielleicht erst 1990 endgültig beigesetzt, mit dem Nachweis, dass die Strahlung fast genau Plancksche Form hatte (siehe Kapitel 9).

Hüpfende und herumlungernde MODELLE Um auf den allgemeinen Fall von Modellen mit einer Mischung aus Energie im Vakuum und normalen Komponenten zurückzukommen, müssen wir drei Fälle unterscheiden. Bei Modellen, die von einem Urknall ausgehen (wobei die Strahlung frühestens vollständig dominiert), wird das Universum entweder wieder zusammenbrechen oder sich für immer ausdehnen. Das letztere Ergebnis wird wahrscheinlicher für niedrige Materie- und Strahlungsdichten, aber hohe Vakuumdichte. Es sind jedoch auch Modelle möglich, bei denen es keinen Urknall gibt: Das Universum kollabierte in ferner Vergangenheit, wurde aber durch die Abstoßung eines positiven Termes verlangsamt und durchlief einen ``Bounce'', um seinen gegenwärtigen Expansionszustand zu erreichen . Um die Bedingungen für diese unterschiedlichen Ereignisse herauszufinden, muss die Friedmann-Gleichung integriert werden. Für die Addition von kann dies im Allgemeinen nur numerisch erfolgen. Wir können jedoch die Bedingungen für die oben beschriebenen unterschiedlichen Verhaltensweisen analytisch finden, zumindest wenn wir die Dinge vereinfachen, indem wir die Strahlung ignorieren. Die Gleichung in Form des zeitabhängigen Hubble-Parameters sieht wie folgt aus

und wir interessieren uns für die Bedingungen, unter denen das lhs verschwindet, was einen Wendepunkt in der Expansion definiert. Das Setzen von rhs auf Null ergibt eine kubische Gleichung, und es ist möglich, die Bedingungen anzugeben, unter denen dies eine Lösung hat (siehe Felten & Isaacman 1986), die wie folgt sind.

Wenn positiv und ich 1, Rückfall wird nur vermieden, wenn v einen kritischen Wert überschreitet

Wenn groß genug ist, liegt der stationäre Punkt der Expansion bei ein (3.56)

wo die Funktion f ist im Geiste ähnlich wie Ck: cosh wenn ich (3.57)

Eine angemessene Untergrenze für ich von 0,1 schließt dann ein Abprallen aus, sobald Objekte bei gesehen werden z > 2.

Die wichtigsten Ergebnisse dieses Abschnitts sind in Abbildung 3.5 zusammengefasst. Da die Strahlungsdichte heute sehr klein ist, besteht die Hauptaufgabe der relativistischen Kosmologie darin, herauszufinden, wo auf der Angelegenheit - Vakuum Ebene liegt das wahre Universum. Die Existenz von hochrotverschobenen Objekten schließt die Bounce-Modelle aus, sodass sich der Gedanke eines heißen Urknalls nicht entziehen kann. Wie die nachfolgenden Kapitel zeigen werden, begünstigen die Daten eine Position in der Nähe des Punktes (1,0), was die schlimmstmögliche Situation darstellt: Dies bedeutet, dass die Probleme des Rückfalls und der Schließung sehr schwer zu lösen sind.

FLACHES UNIVERSUM Das wichtigste Modell der kosmologischen Forschung ist das mit k = 0 -> gesamt = 1, wenn es von Materie dominiert wird, wird dies oft als bezeichnet Einstein-de Sitter Modell. Paradoxerweise entsteht diese Bedeutung, weil es sich um einen instabilen Zustand handelt: Wie wir bereits gesehen haben, wird sich das Universum bei einer leichten Störung von = 1 weg entwickeln. Dass sich das Universum um so viele erweitert hat e-Faltung (Faktoren von e Ausbau) und doch noch

1 impliziert, dass es zu frühen Zeiten sehr nahe daran war, räumlich flach zu sein. Viele Arbeiter haben vermutet, dass es erfunden wäre, wenn diese Flachheit nicht perfekt wäre – ein Vorurteil, das in den meisten Inflationsmodellen zum Status einer Vorhersage erhoben wird.

Obwohl es sich um einen mathematisch unterschiedlichen Fall handelt, können in der Praxis die Eigenschaften eines flachen Modells normalerweise erhalten werden, indem der Grenzwert -> 1 für entweder offene oder geschlossene Universen mit k = ± 1. Trotzdem ist es in der Regel einfacher, wieder von der k = 0 Friedmann-Gleichung, 2 = 8 G img src="../GIFS/rho2.gif" align=middle> R 2 / (3c 2). Da beide Seiten quadratisch sind in R, dies macht deutlich, dass der Wert von R0 ist im Gegensatz zu Modellen mit 1: willkürlich, die mitbewegte Geometrie ist euklidisch, und es gibt keine natürliche Krümmungsskala.

Es ist jetzt sinnvoller, durchgängig mit dem normierten Skalierungsfaktor zu arbeiten beim), so dass die Friedmann-Gleichung für einen Materie-Strahlungs-Mix

die integriert werden können, um die Zeit als Funktion des Skalierungsfaktors anzugeben:

das geht zu 2/3 ein 3/2 für ein reines Modell und 1/2 ein 2 nur für Strahlung.

Eine weitere Möglichkeit, die Zeitabhängigkeit des Modells darzustellen, ist über die Dichte. Nach dem oben Gesagten ist es einfach zu zeigen, dass

Das ganze Universum gehorcht also immer der Faustregel für den Kollaps vom Rest eines gravitierenden Körpers: die Kollapszeit 1 / sqrt(G ).

weil r ist so klein, dass die Abweichungen von einem reinen Materiemodell für . unwichtig sind z 1000, und damit die Distanz-Rotverschiebungs-Beziehung für die k = 0 Materie plus Strahlungsmodell ist effektiv nur das des ich = 1 Einstein-de-Sitter-Modell. Eine Alternative k = 0 Modell von größerem Beobachtungsinteresse hat eine signifikante kosmologische Konstante, so dass ich + v = 1 (Strahlung wird der Einfachheit halber vernachlässigt). Das mag künstlich erscheinen, aber einmal k = 0 festgelegt wurde, kann sich nicht ändern: einzelne Beiträge an müssen sich anpassen, um das Gleichgewicht zu halten. Der Vorteil dieses Modells besteht darin, dass nur so die theoretische Attraktivität von k = 0 beim Ändern des Alters des Universums aus der Beziehung H0 t0 = 2/3, was das Einstein-de-Sitter-Modell charakterisiert. Da viele Beobachtungen darauf hinweisen, dass H0 t0 1 (siehe Kapitel 5) hat dieses Modell in den letzten Jahren großes Interesse gefunden. Der Einfachheit halber vernachlässigen wir die Strahlung, so dass die Friedmann-Gleichung

und der t (a) Beziehung ist

Das x 4 auf der Unterseite sieht nach Ärger aus, kann aber durch die Substitution handhabbar gemacht werden ja = sqrt(x 3 |ich - 1| / ich), wodurch das Integral zu

Hier, k im Sk wird verwendet, um Sünde zu bedeuten, wenn ich > 1, sonst sinh das sind noch k = 0 Modelle. Diese t (a) in Abbildung 3.6 mit Modellen ohne Vakuumenergie verglichen. Da die aktuelle Ära nichts Besonderes ist, können wir diesen Ausdruck eindeutig auch umschreiben als

wobei wir eine einfache Näherung mit einer Genauigkeit von wenigen % über den interessierenden Bereich (ich 0,1). Im allgemeinen Fall von signifikantem aber k 0 gibt dieser Ausdruck immer noch eine sehr gute Annäherung an das genaue Ergebnis, vorausgesetzt ich wird ersetzt durch 0.7ich - 0.3v + 0,3 (Carroll, Press & Turner 1992).

HORIZONTE Für Photonen ist die radiale Bewegungsgleichung nur c dt = R dr. Wie weit kann ein Photon in einer bestimmten Zeit kommen? Die Antwort ist eindeutig

d.h. nur das Intervall der konformen Zeit. Was passiert als t0 -> 0 in diesem Ausdruck? Wir können ersetzen dt durch DR / , was die Friedmann-Gleichung besagt ist DR /sqrt( R 2) zu frühen Zeiten. Somit konvergiert dieses Integral, wenn R 2 -> wie t0 -> 0, sonst divergiert es. Vorausgesetzt, die Zustandsgleichung ändert sich schneller als R -2 , Lichtsignale können sich zwischen dem Urknall und der Gegenwart nur eine endliche Strecke ausbreiten, heißt dann a Teilchenhorizont. Ein solcher Horizont existiert daher in herkömmlichen Urknallmodellen, die zu frühen Zeiten von Strahlung dominiert werden.

Ein Teilchenhorizont ist keineswegs dasselbe wie ein Ereignishorizont: Für letzteren fragen wir, ob r divergiert als t -> . Wenn ja, ist es nur eine Frage, lange genug zu warten, um ein bestimmtes Ereignis zu sehen. Ein Ereignishorizont erfordert eindeutig R(t) schneller zunehmen als t, so dass sich entfernte Teile des Universums ``schneller als das Licht'' zurückziehen. Dies geschieht nicht, es sei denn, das Universum wird zu späten Zeiten von Vakuumenergie dominiert, wie oben diskutiert. Trotz dieser Unterscheidung sagen Kosmologen normalerweise der Horizont wenn sie den Teilchenhorizont meinen.

Die Idee eines Horizonts in einem geschlossenen Universum hat einige einzigartige Aspekte, bei denen Sie im Prinzip zu Ihrem Ausgangspunkt zurückkehren können, indem Sie lange genug in dieselbe Richtung weitergehen.Schwieriger gestaltet sich allerdings die damit verbundene Möglichkeit, den Hinterkopf (wenn auch zeitversetzt) ​​zu betrachten, wenn man die Dynamik berücksichtigt. Für ein reines Materiemodell ist es leicht zu zeigen, dass der Horizont gerade erst das Stadium erreicht, in dem ein Photon das Universum am Punkt des Wiederzusammenbruchs umrunden kann – dem „großen Knirschen“. Ein Photon, das bei beginnt r = 0 at t = 0 kehrt in seine Ausgangsposition zurück, wenn r = 2 , an diesem Punkt ist auch die konforme Zeit = 2 (von oben) und das Modell ist wieder zusammengebrochen. Da wir in einem expandierenden Universum leben, ist es nicht einmal möglich, dasselbe Objekt in zwei verschiedenen Richtungen mit Radien zu sehen r und 2 - r. Dies erfordert eine Horizontgröße größer als aber konforme Zeit = wird nur bei maximaler Expansion erreicht, so dass antipodale Paare von hochrotverschobenen Objekten nur in der Kollapsphase sichtbar sind. Diese Einschränkungen gelten nicht, wenn das Universum eine signifikante kosmologische Konstante hat, die herumlungernde Modelle sollten es ermöglichen, Antipodenpaare bei ungefähr der gleichen Rotverschiebung zu sehen. Dieser Effekt wurde angestrebt, jedoch ohne Erfolg. *****


Neutrinomodellierung in der Friedmann-Gleichung - Astronomie

Die Entdeckung der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung (CMB) vor 40 Jahren beendete für die meisten Menschen die alte Debatte über Steady-State vs. Hot Big Bang. Vor zehn Jahren wurde die Unterstützung für den Hot Big Bang durch den COBE-Satelliten verstärkt, der zeigte, dass der CMB ein Planck-Spektrum mit extrem hoher Präzision hat, es ist buchstäblich der perfekteste schwarze Körper, der in der Natur beobachtet wurde [16]. Dies lässt jedes Modell, bei dem die CMB durch einen sekundären Prozess erzeugt wird, wie etwa die thermische Rückstrahlung von Sternenlicht durch heißen Staub, äußerst schwierig, wenn nicht sogar unmöglich erscheinen.

Die Hintergrundstrahlung hat nicht nur ein thermisches Spektrum, sondern es ist jetzt offensichtlich, dass diese Strahlung in der Vergangenheit heißer war als heute für die adiabatische Expansion des Universums erwartet. Dies wird durch Beobachtungen von neutralen Kohlenstoff-Feinstrukturlinien sowie von Rotationsübergängen von molekularem Wasserstoff in Absorptionsliniensystemen in den Spektren entfernter Quasare bestätigt. Hier ist die implizierte Population verschiedener Niveaus, die hauptsächlich durch das Hintergrundstrahlungsfeld bestimmt wird, ein wirksames Thermometer für dieses Strahlungsfeld. Ein Beispiel liefert ein Quasar mit einem Absorptionsliniensystem bei z = 3,025, was zeigt, dass die Temperatur des CMB bei dieser Rotverschiebung 12,1 +1,7 . betrug -8.2 K, im Einklang mit den Erwartungen (T 1 + z) [17].

Als herausragendste Erfolgsgeschichte des Hot Big Bang wird jedoch allgemein die Big Bang Nucleosynthese (BBN) angesehen, die für eine gegebene Anzahl relativistischer Teilchenarten die ursprünglichen Häufigkeiten der leichten Isotope mit effektiv einem freien . vorhersagt Parameter: das Verhältnis von Baryonen zu Photonen, [18]. Ich möchte diese Erfolgsgeschichte noch einmal Revue passieren lassen und darauf hinweisen, dass es eine offensichtliche Inkonsistenz gibt, die vollständig auf Beobachtungen beruhen kann, aber alternativ auf eine neue Physik hinweisen kann.

Wir haben oben in der Friedmann-Gleichung (Gl. 3.7) gesehen, dass Strahlung, falls vorhanden, die Expansion des Universums immer zu früh genug Epochen (ungefähr bei z 2 × 10 4 ich.) Dies macht die Ausdehnung und thermische Geschichte des Universums in dieser Zeit besonders einfach. Die Friedmann-Gleichung wird

Hier ein ist die Strahlungskonstante und Nein(T) ist die Anzahl der Freiheitsgrade in relativistischen Teilchen. Der Skalierungsfaktor wächst als t 1/2 was bedeutet, dass das Alter des Universums gegeben ist durch t = 1/2H. Dies impliziert aus Gl. 4.1, eine Alter-Temperatur-Beziehung der Form t T -2 . In Zahlen ausgedrückt lautet die genaue Beziehung

wobei das Alter in Sekunden angegeben wird und TMeV ist die in MeV gemessene Temperatur. Es ist nur notwendig, die Anzahl der relativistischen Teilchenarten zu zählen:

wobei die Summen über der Anzahl der bosonischen Freiheitsgrade liegen (GB) und fermionische Freiheitsgrade (GF). Der Faktor 7/8 ist auf den Unterschied in der Bose-Einstein- und Fermi-Dirac-Statistik zurückzuführen. Addiert man alle bekannten Spezies - Photonen, Elektronen-Positronen (wenn TMeV > 0,5), drei Arten von Neutrinos und Anti-Neutrinos - wir finden

für die Alter-Temperatur-Beziehung im frühen Universum.

Wenn das Universum weniger als eine Sekunde alt ist (T > 1 MeV) die schwachen Wechselwirkungen

sind schnell genug, um ein Gleichgewicht zwischen diesen verschiedenen Arten herzustellen. Aber wenn T unter 1 MeV fällt, werden die Reaktionsgeschwindigkeiten langsamer als die Expansionsgeschwindigkeit des Universums, und Neutronen "frieren" aus - sie fallen aus dem thermischen Gleichgewicht, ebenso wie die Neutrinos. Dies bedeutet das Gleichgewichtsverhältnis von Neutronen zu Protonen bei T 1 MeV wird in die expandierende Suppe eingefroren: nein / p 0,20 - 0,25. Sie alle wissen, dass Neutronen außerhalb eines Atomkerns instabile Teilchen sind und mit einer Halbwertszeit von etwa 15 Minuten zerfallen. Doch bevor das passiert, gibt es einen möglichen Fluchtweg:

das heißt, ein Neutron kann sich mit einem Proton zu einem Deuteriumkern und einem Photon verbinden. Solange jedoch die mittlere Energie von Teilchen und Photonen größer ist als die Bindungsenergie von Deuterium, etwa 86 Kev, findet die Umkehrreaktion statt, sobald ein Deuteriumkern gebildet wird, wird er photodissoziiert. Dies bedeutet, dass es unmöglich ist, eine signifikante Menge an Deuterium aufzubauen, bis die Temperatur des Universums unter 86 KeV gefallen ist oder rückblickend auf Gl. 4.4, bis das Universum älter als etwa 2,5 Minuten geworden ist. Dann werden alle verbleibenden Neutronen schnell zu Deuterium verarbeitet.

Aber auch das Deuterium hält nicht lange. Angesichts der in dieser Epoche vorherrschenden Temperatur und Teilchendichten gibt es eine Reihe von Zweikörperreaktionen, bei denen sich zwei Deuteronen zu He 4 und Spuren von Lithium und He 3 verbinden. Diese Reaktionen laufen mit einer Geschwindigkeit ab, die von der Gesamthäufigkeit der Baryonen, dem Verhältnis von Baryonen zu Photonen, abhängt:

So werden im Wesentlichen alle Neutronen, die bis T = 86 KeV überleben, in He 4 eingeschlossen. Daher hängt die ursprüngliche Häufigkeit von Helium in erster Linie von der Expansionsrate des Universums ab: Je schneller die Expansion (z. B. aufgrund von mehr Neutrinotypen oder einer größeren Gravitationskonstante) desto mehr Helium. Die Menge an verbleibendem Deuterium hängt jedoch von der Menge an Baryonen ab: je höher, desto weniger Deuterium. Aus diesem Grund wird manchmal behauptet [18], dass die Häufigkeit von primordialem Helium ein gutes Chronometer ist (es misst die Expansionsrate), während die Häufigkeit von Deuterium ein gutes Baryometer ist (es misst b). Dies ist in den Fign. 1 und 2, wo wir erstens die vorhergesagten Häufigkeiten verschiedener leichter Isotope als Funktion von und zweitens die vorhergesagte Häufigkeit von He gegenüber der von Deuterium für zwei, drei und vier Neutrinotypen sehen.

Die Bestimmung der primordialen Häufigkeiten ist keine einfache Angelegenheit, da sich die Häufigkeit dieser Elemente aufgrund von Prozessen innerhalb von Sternen ("Astration") entwickelt. Im Allgemeinen nimmt die Menge an Helium zu (Wasserstoff wird zu Helium verarbeitet, das die primäre Energiequelle für Sterne darstellt), während Deuterium durch den gleichen Prozess zerstört wird. Das bedeutet, dass Astronomen, wenn sie versuchen, die ursprünglichen Häufigkeiten von Deuterium oder Helium abzuschätzen, versuchen müssen, so weit wie möglich unberührtes, unverarbeitetes Material zu finden. Eine Möglichkeit, unverarbeitetes Material zu finden, besteht darin, auf frühe Zeiten oder große Rotverschiebungen zurückzublicken, bevor das baryonische Material durch Generationen von Sternen recycelt wurde. Dies kann mit Quasar-Absorptionsliniensystemen erfolgen, bei denen mehrere Beobachtergruppen versucht haben, sehr flache Absorptionslinien von Deuterium bei der gleichen Rotverschiebung wie die viel stärkeren Wasserstoff-Lyman-Alpha-Absorptionsliniensysteme zu identifizieren [19, 20, 21, 22]. Es ist eine schwierige Beobachtung, die die größten Teleskope erfordert, dass die mit Deuterium identifizierten Linien falsch identifizierte schwache Wasserstoff- oder Metalllinien sein können (für einen Astronomen ist übrigens jedes Element, das schwerer als Helium ist, ein Metall). Nimmt man die Ergebnisse verschiedener Gruppen zum Nennwert, beträgt der gewichtete Mittelwert [18] D/H 2,6 ± 0,3 × 10 -5 . Rückblickend auf Abb. 1 sehen wir, dass dies = 6,1 ± 0,6 × 10 -10 oder . entsprechen würde b ha 2 = 0.022 ± 0.003.

Hier ist Vorsicht geboten: Die von den verschiedenen Gruppen ermittelten Werte für die Deuteriumhäufigkeit streuen um mehr als den Faktor zwei, was deutlich größer ist als die angegebenen statistischen Fehler ( 25 %). Dies deutet darauf hin, dass signifikante systematische Effekte vorliegen. Es ist jedoch bemerkenswert, dass das Winkelleistungsspektrum der CMB-Anisotropien auch eine Schätzung der Baryonenhäufigkeit liefert, die im Verhältnis der Amplituden des zweiten zum ersten Peak kodiert ist. Der Wert ist b ha 2 = 0,024 ± 0,001. Mit anderen Worten, die beiden Bestimmungen stimmen innerhalb ihrer Fehler überein. Dies ist bemerkenswert, wenn man bedenkt, dass die erste Bestimmung nukleare Prozesse beinhaltet, die innerhalb der ersten drei Minuten des Urknalls ablaufen, und die zweite die Schwingungen eines Photonen-Baryonen-Plasmas in enormem Ausmaß umfasst, wenn das Universum etwa 500.000 Jahre alt ist. Wenn dies ein Zufall ist, ist es wirklich ein erstaunlicher.

So viel zum Baryometer, aber was ist mit dem Chronometer - Helium? Auch hier sind Astronomen gezwungen, nach unverarbeitetem Material zu suchen, um die ursprüngliche Häufigkeit abzuschätzen. Die Technik der Betrachtung von Quasar-Absorptionsliniensystemen funktioniert für Helium nicht, da die Absorptionslinien vom Grundzustand weit im Ultravioletten liegen - etwa 600 Å für neutrales Helium und wahrscheinlicher 300 Å von einfach ionisiertem Helium . Dies liegt weit über der Lyman-Grenze von Wasserstoff, wo die Strahlung des Hintergrundquasars effektiv absorbiert wird [23]. Hier besteht die Technik darin, nach He-Emissionslinien aus HII-Regionen (ionisiertes Gas um heiße Sterne) in nahe gelegenen Galaxien zu suchen und mit den Wasserstoff-Emissionslinien zu vergleichen. Aber woher weiß man, dass das Gas unverarbeitet ist? Der Hinweis liegt in der Tatsache, dass Sterne nicht nur Wasserstoff zu Helium verarbeiten, sondern in den späten Stadien ihrer Evolution auch schwerere Elemente (Metalle) in ihrem Inneren synthetisieren. Daher ist die Häufigkeit schwerer Elemente wie Silizium ein Indikator dafür, wie viel nukleare Verarbeitung das ionisierte Gas durchlaufen hat. Es wird beobachtet, dass die He-Häufigkeit mit der Metallhäufigkeit korreliert, so dass das Ziel darin besteht, HII-Regionen mit einer möglichst geringen Metallhäufigkeit zu finden und diese empirische Korrelation dann auf eine Metallhäufigkeit von Null zu extrapolieren [24, 25]. Die Antwort lautet He/H 0,24, was der Punkt mit Fehlerbalken in Abb. 2 zeigt.

Dieser Wert ist angesichts der beobachteten Deuteriumhäufigkeit peinlich niedrig. Es ist offensichtlich konsistenter mit einer Expansionsrate, die nur von zwei Neutrinotypen bereitgestellt wird, anstatt von drei, aber wir wissen, dass es sicherlich drei Typen gibt. Mögliche Gründe für diese offensichtliche Anomalie sind:

1) Schlechte Astronomie: Es gibt unaufgelöste systematische Fehler bei der Bestimmung der relativen He-Häufigkeit in HII-Regionen, was darauf hindeutet, dass sich die Ergebnisse verschiedener Gruppen um mehr als die angegebenen statistischen Fehler unterscheiden [18]. Die Ableitung des Helium-zu-Wasserstoff-Verhältnisses aus dem beobachteten He + /H + -Verhältnis erfordert ein gewisses Verständnis der Struktur der HII-Regionen. Wenn es relativ kühle ionisierende Sterne gibt (T < 35000 K) räumlich von den heißeren Sternen getrennt, kann mit einer gegebenen Häufigkeit von H + relativ weniger He + verbunden sein. Linien anderer Elemente müssen beobachtet werden, um die Anregungstemperatur abzuschätzen. Dies ist ein komplexes Problem.

2) Neue Neutrino-Physik: Es kann eine Asymmetrie zwischen Neutrinos und Anti-Neutrinos geben (so etwas wie die Baryon-Antibaryon-Asymmetrie, die uns das beobachtete Universum liefert). Dies würde sich als chemisches Potential in der Boltzmann-Gleichung manifestieren, das unterschiedliche Gleichgewichtsverhältnisse der verschiedenen Neutrinospezies ergibt [26].

3) Neue Gravitationsphysik: Jede Änderung der Gravitationswechselwirkung, die in frühen Epochen wirksam ist (Braneworld-Effekte?) könnte einen ausgeprägten Einfluss auf die Nukleosynthese haben. Beispielsweise würde eine niedrigere effektive Gravitationskonstante eine niedrigere Expansionsrate und eine geringere He-Häufigkeit ergeben. Der standardmäßige minimale Braneworld-Korrekturterm, proportional zum Quadrat der Dichte [27], geht in die falsche Richtung.

Es ist unklar, ob die geringe Heliumabundanz ein ernsthaftes Problem für den Standard-Urknall darstellt. Aber es ist klar, dass die Übereinstimmung der implizierten Baryonenhäufigkeit mit der CMB-Bestimmung ein beeindruckender Erfolg ist und die Behauptung stark unterstützt, dass der Hot Big Bang das richtige Modell für das Prärekombinationsuniversum ist. *****


Antworten und Antworten

Es geht nicht wirklich darum, die Friedmann-Gleichungen zu modifizieren, sondern mit der Einstein-Feldgleichung mit anderen Annahmen noch einmal von vorne zu beginnen.

Wenn Sie überhaupt keine Symmetrieannahmen machen, bin ich mir nicht sicher, wie Sie eine Lösung für die Verteilung der Stress-Energie erhalten könnten.

Wenn Sie davon ausgehen, dass das Universum immer noch achsensymmetrisch und noch homogen ist (also die Achsensymmetrie überall gleich ist), würde dies den Spannungs-Energie-Tensor einschränken und eine Lösung könnte immer noch möglich sein. Es gibt bekannte axialsymmetrische Lösungen für das EFE, aber ich weiß nicht, ob eine davon ein expandierendes Universum beschreibt.

Zusammenfassung: Wie lauten die Friedmann-Gleichungen, wenn wir ein anisotropes Universum annehmen?

Die Friedman-Gleichungen basieren auf dem kosmologischen Prinzip, das besagt, dass das Universum auf ausreichend großem Maßstab homogen und isotrop ist.

Aber was wäre, wenn das Universum als Hypothese anisotrop wäre und die Ansammlung von Massen an einer willkürlichen Achse (Axialpol) ausgerichtet wäre, wie würden Friedman-Gleichungen modifiziert?

Ich denke, wir müssten den metrischen Tensor nach Friedmann neu definieren. Aber wie?

Der metrische Tensor nach Friedmann ist:

$g = -dt otimes dt + (-frac ) dr otimes dr + r^2 a(t)^2 d heta otimes d heta + r^2 a(t)^2 sin( heta)^2 dphi otimes dphi$

Und die Friedmann-Gleichungen lauten:
Der erste:

Und der abgeleitete Hubble-Parameter ist:

Wie genau müssten diese Gleichungen also modifiziert werden, um Anisotropie und einen axialen Pol zu berücksichtigen?

Wie PeterDonis sagte, müssen Sie von vorne beginnen. Leider weiß niemand, wie man das gut macht. Es gibt exakte kugelsymmetrische Lösungen für die Einstein-Feldgleichungen, die brauchbar sein könnten, aber im Allgemeinen gibt es keine Möglichkeit, dies außer durch Näherungen zu tun.

Dies ist das Grundkonzept der Störungstheorie, wie es in der Kosmologie verwendet wird, wo Sie eine homogene und isotrope Hintergrundraumzeit haben, aber darüber einige inhomogene Fluktuationen überlagert sind. Es ist ein großes, komplexes Thema. Aber es liegt vielen wichtigen Kosmologien in Bezug auf die Strukturbildung im Universum zugrunde.

Was bedeutet das mathematisch? Welche Symmetrietransformationen würden zum Beispiel das Universum gleich aussehen lassen?

In den homogenen und isotropen FRW-Raumzeiten ist die Menge dieser Symmetrietransformationen: alle räumlichen Translationen und alle räumlichen Rotationen um eine beliebige Achse. Offensichtlich können diese Ihr hypothetisches Universum nicht alle gleich aussehen lassen. Aber welche würde gleich aussehen lassen?

Ich bin nicht sicher! Wenn wir sagen "gleich aussehen" muss unsere eigene Wahrnehmung bedeuten, wie das Universum aussieht und wie wir es im Rahmen der Friedmann-Gleichungen (Friedmann-Metrik) modelliert haben. Was aber wäre, wenn unsere Wahrnehmung bis zu einem gewissen Grad fehlerhaft ist und wir ein neues Modell für Expansion, Anisotropie und Inhomogenität für sehr große Skalen und Isotropie und Homogenität für lokale Skalen bräuchten. Siehe diesen Artikel über die Planck-Ergebnisse, die ersten 4 Absätze sind interessant: anisotrop .

Aber ich denke, eine Kugelsymmetrie kann dafür immer noch verwendet werden.

Mehr oder weniger aber "wie das Universum aussieht" kann durch Dinge wie die Dichte der Materie charakterisiert werden, so dass ihr eine konkrete Bedeutung gegeben werden kann.

Nein, das ist nicht notwendig, Sie brauchen keine Friedmann-Metrik, um Dinge wie die Dichte von Materie zu definieren. Sie müssen nur darüber nachdenken, wie sich die Dichte der Materie für die Art von Modell, die Sie beschreiben, im Raum verändern würde? Welche Arten von Transformationen könnten Sie vornehmen, um die Verteilung der Dichte der Materie im Raum unverändert zu lassen?

Das ist etwas anderes als das, was Sie bisher gesagt haben. Wenn das Universum eine bevorzugte Achse hat, würde dies auf allen Skalen zutreffen.

OK. Aber dann weiß ich es nicht. Deshalb frage ich in diesem Thread.

Nein, ich füge nur hinzu oder theoretisiere basierend auf dem Planck-Artikel: der besagt, dass die isotropen Eigenschaften bei ausreichend großen Skalen zusammenbrechen (in meinen eigenen Worten). Also dachte ich, dass es sein muss, dass das Universum auf lokalen Skalen homogen und isotrop aussieht, aber für sehr große Skalen sehen wir anisotrop und eine mögliche Inhomogenität, aber auf jeden Fall dehnt sich das Universum aus und beschleunigt sich.

Ich habe keine Ahnung, was die Metrik in diesen Fällen sein sollte.

Der Planck-Artikel sagt nichts über einen "axialen Pol" daher weiß ich nicht, woher du das hast. Wenn Sie sich für Raumzeiten mit einem "axialen Pol" interessieren, wäre dies eine separate Diskussion von einer Diskussion der Planck-Ergebnisse.

Wenn Sie daran interessiert sind, welche Arten von Raumzeitmodellen Kosmologen aufgrund dessen, was sie in den Planck-Daten sehen, betrachten, erwähnt der Artikel die Bianchi-Modelle, von denen ich denke, dass sie über diese sprechen:

http://www.scholarpedia.org/article/Bianchi_universes
Aber wie der Artikel anmerkt, versteht derzeit niemand, wie man ein Modell baut, das in sehr großen Maßstäben wie eines dieser Bianchi-Modelle aussieht, aber in kleineren Maßstäben wie ein FRW-Modell aussieht.

Kann ich die beiden nicht mischen? Der mit den Planck-Berichten und einer meiner eigenen Neugier? Wie auch immer, ich bevorzuge es, über den axialen Pol und die anisotropen Aspekte eines hypothetischen, aber expandierenden Universums zu sprechen!

Welche Symmetrie würde Ihrer Meinung nach für diese Kriterien gelten?

Nicht im selben Thread, das macht die Diskussion nur unscharf.

Dann lassen Sie uns diesen Thread darauf konzentrieren und Sie können einen separaten Thread starten, wenn Sie die Planck-Ergebnisse und -Implikationen basierend auf dem zuvor angegebenen Link diskutieren möchten.

Nicht im selben Thread, das macht die Diskussion nur unscharf.

Dann lassen Sie uns diesen Thread darauf konzentrieren und Sie können einen separaten Thread starten, wenn Sie die Planck-Ergebnisse und -Implikationen basierend auf dem zuvor angegebenen Link diskutieren möchten.

Die offensichtliche Symmetrie wäre axiale Symmetrie, was bedeutet, dass die Drehung um eine feste Achse im Raum alles gleich aussehen lässt. Leider handelt es sich bei so ziemlich allem, was Sie in der Literatur über axialsymmetrische Raumzeiten finden, um Kerr-Raumzeit, d. h. die Raumzeit eines rotierenden Schwarzen Lochs, das axialsymmetrisch, aber auch stationär ist und sich nicht ausdehnt.

Zurück zum ursprünglichen Problem, das Problem besteht im Wesentlichen darin, dass Sie uns bitten, etwas zu definieren, das Sie nicht klar spezifiziert haben. Und hier kommt es wirklich auf die Details an.

Hier sind zum Beispiel drei Arten von achsenausgerichteten Universen, die man auf Papier schreiben könnte:
1) Materie neigt dazu, sich entlang paralleler Stäbe auszurichten. Das Universum ist noch homogen, aber die Verteilung der Materie bestimmt eine bestimmte Richtung. Diese Art von Universum dehnt sich genauso aus wie unseres (nach den FRW-Gleichungen), weil es auf großen Skalen homogen ist. Die bevorzugte Richtung würde darauf hinweisen, dass im sehr frühen Universum einige interessante Physik am Werk war, die diese anfänglichen Störungen entlang einer bestimmten Richtung ausrichtete.
2) Es gibt eine zentrale Linie durch das Universum, die seine Region mit maximaler Dichte ist. Die Dichte des Universums nimmt allmählich ab, wenn Sie sich von dieser Linie entfernen. Dies ist ein zylindrisch-symmetrisches Universum, das nicht verhalten sich wie FRW. Die Einstein-Gleichungen müssten mit diesem Symmetrieaufbau überarbeitet werden.
3) Das Universum dreht sich um eine Achse. Dies ist eine andere Art von Zylindersymmetrie, die sich nicht wie FRW verhalten würde. Es mag homogen beginnen, aber die Rotation kann dieses Universum auf großen Skalen aus der Homogenität zwingen.

Zurück zum ursprünglichen Problem, das Problem besteht im Wesentlichen darin, dass Sie uns bitten, etwas zu definieren, das Sie nicht klar spezifiziert haben. Und hier kommt es wirklich auf die Details an.

Hier sind zum Beispiel drei Arten von achsenausgerichteten Universen, die man auf Papier schreiben könnte:
1) Materie neigt dazu, sich entlang paralleler Stäbe auszurichten. Das Universum ist noch homogen, aber die Verteilung der Materie bestimmt eine bestimmte Richtung. Diese Art von Universum dehnt sich genauso aus wie unseres (nach den FRW-Gleichungen), weil es auf großen Skalen homogen ist. Die bevorzugte Richtung würde darauf hinweisen, dass im sehr frühen Universum einige interessante Physik am Werk war, die diese anfänglichen Störungen entlang einer bestimmten Richtung ausrichtete.
2) Es gibt eine zentrale Linie durch das Universum, die seine Region mit maximaler Dichte ist. Die Dichte des Universums nimmt allmählich ab, wenn Sie sich von dieser Linie entfernen. Dies ist ein zylindrisch-symmetrisches Universum, das nicht verhalten sich wie FRW. Die Einstein-Gleichungen müssten mit diesem Symmetrieaufbau überarbeitet werden.
3) Das Universum dreht sich um eine Achse. Dies ist eine andere Art von Zylindersymmetrie, die sich nicht wie FRW verhalten würde. Es mag homogen beginnen, aber die Rotation kann dieses Universum auf großen Skalen aus der Homogenität zwingen.

Um hier nur ein wenig hinzuzufügen:

Angenommen, man nimmt nur axiale Symmetrie um eine einzelne Achse an, wie natürlich aus der Kugelsymmetrie um einen Punkt verallgemeinert. Dies ist nicht genug, um die Suche nach Lösungen viel einfacher zu machen als die vollständig allgemeinen Einstein-Feld-Gleichungen. Um eine plausibel handhabbare Familie von Lösungen zu erreichen, die Materie (sowie Vakuum, falls gewünscht) beinhalten, muss man weiterhin einen nicht-rotierenden und stationären Charakter annehmen. In diesem Fall können Sie die Lösungen durch 3 allgemeine Funktionen von Radial- und Axialkoordinaten charakterisieren, mit expliziten Formeln für den Ricci-Tensor in Bezug auf diese (und damit den Spannungsenergie-Tensor). Sie können dann die dominante Energiebedingung für die klassische Plausibilität weiter auferlegen. [Für eine typische Lehrbuchdiskussion dieser Probleme siehe Synge, "Relativity, the General Theory", Abschnitt VIII.1 Bemerkenswerterweise haben MTW und Carroll keine Diskussion allgemeiner familienaxialer Lösungen. Wald führt eine solche Diskussion, mit mehr Strenge und einem anderen Schwerpunkt als Synge, insbesondere Rotation plus Materie - aber mit dem Ergebnis, dass Lösungen gefunden werden schwer finden, obwohl immer noch stationäre + Achsensymmetrie angenommen].

All dies ist jedoch für die Kosmologie wegen der stationären Annahme nutzlos. Kurz gesagt, jede Art und Weise, anisotrope Kosmologie zu betreiben, geht weit über das Niveau eines Standard-GR-Lehrbuchs für Absolventen hinaus (und ich habe keine Ahnung, was in diesem Bereich geforscht worden sein könnte).

Nun, ich brauche die Metrik für die folgenden Annahmen:
1) Das Universum dehnt sich so aus, wie es derzeit tut.
2) Universum begann mit einem Urknall
3) Das Universum ist auf großen Skalen anisotrop mit einer zentralen Achse
4) Das Universum dreht sich nicht
5) Das Universum sieht aus lokaler Sicht homogen aus.
6) Nicht-Lokalität (QM) gilt.
7) aktuelle Dichteparameter (dunkle Energie, Materie, Neutrino) sind gültig


Neutrinomodellierung in der Friedmann-Gleichung - Astronomie

PHY 524 - Graduierte Kosmologie

Willkommen auf der Homepage der Lehrveranstaltung „Kosmologie“ (PHY 524) im Frühjahr 2020.

Kursübersicht: Dieser Kurs behandelt das Standardmodell der Kosmologie, einschließlich des homogenen Universums und der Störungstheorie, sowie die wichtigsten Beobachtungstests dieses Modells.

Unterrichtszeiten: Dienstag und Donnerstag 12:30 - 13:50 Uhr via Zoom-Meeting

Sprechzeiten: Montags 15:00 - 16:00 Uhr via Zoom-Meeting

Kursnote: Hausaufgaben-Aufgabensätze (25%)

Hausaufgaben und Prüfungen sind elektronisch über Blackboard abzugeben

Kursbuch: Moderne Kosmologie von Scott Dodelson, Academic Press, 2003

Andere nützliche Lehrbücher: Kosmologie von Steven Weinberg, Oxford University Press, 2008

Einführung in die Theorie des frühen Universums

von D. Gorbunov und V. Rubakov, World Scientific, 2011

Einführung in die Kosmologie von Barbara Ryden, Addison Wesley, 2003

(das letzte Buch ist ein Bachelor-Text und kann eine nützliche Rezension bieten)

Voraussetzungen: Kenntnisse der grundständigen Physik im Grundstudium (Klassische Mechanik, Elektrodynamik, Quantenmechanik und Thermodynamik) werden vorausgesetzt. Auch Kenntnisse der Allgemeinen Relativitätstheorie werden vorausgesetzt (z.B. vor Unterrichtsbeginn Dodelson Seiten 23 - 33 lesen). Vorkenntnisse in Quantenfeldtheorie, Astronomie oder Kosmologie werden nicht vorausgesetzt.

• Friedmann-Robertson-Walker-Metrik und Friedmann-Gleichungen

• Expansionshistorie und Entfernungsmaße

• Standardkerzen und Standardlineale

• Relativistische Freiheitsgrade und der Neutrinohintergrund

• Gestörte Metrik und Boltzmann-Gleichung für Photonen im realen Raum

• Boltzmann-Gleichung für Photonen im Fourier-Multipolraum

• Störungsgleichungen für Neutrinos, Dunkle Materie und Baryonen

• Einstein-Gleichungen und Eichtransformationen

• Anfangsbedingungen und adiabatische vs. Isokrümmungsmodi

• Erzeugung von Inflationsstörungen

• Inhomogenitäten und das Materieleistungsspektrum

• Verstehen Sie die Physik und Entwicklung des glatten, homogenen Universums ab dem Urknall

• Verstehen Sie die Physik von Störungen in einem glatten Universum

• Verstehen Sie die Beobachtungsfolgen

Erklärung des Unterstützungszentrums für Barrierefreiheit für Studenten:

Wenn Sie eine körperliche, psychische, medizinische oder Lernbehinderung haben, die Ihre Kursarbeit beeinträchtigen könnte, wenden Sie sich bitte an das Student Accessibility Support Center, 128 ECC Building, (631) 632-6748, oder unter [email protected] Sie bestimmen mit Ihnen, welche Unterkünfte notwendig und angemessen sind. Alle Informationen und Unterlagen sind vertraulich.

Erklärung zur akademischen Integrität:

Jeder Studierende muss seine akademischen Ziele ehrlich verfolgen und für alle eingereichten Arbeiten persönlich verantwortlich sein. Die Arbeit einer anderen Person als deine eigene darzustellen, ist immer falsch. Die Fakultät ist verpflichtet, jeden Verdachtsfall wissenschaftlicher Unehrlichkeit der Akademischen Justiz zu melden. Die Fakultäten des Zentrums für Gesundheitswissenschaften (School of Health Technology & Management, Nursing, Social Welfare, Dental Medicine) und der School of Medicine sind verpflichtet, ihre schulspezifischen Verfahren zu befolgen. Umfassendere Informationen zur akademischen Integrität, einschließlich Kategorien akademischer Unehrlichkeit, finden Sie auf der Website der akademischen Justiz unter http://www.stonybrook.edu/commcms/academic_integrity/index.html

Kritisches Incident-Management:

Die Stony Brook University erwartet von den Studierenden, dass sie die Rechte, Privilegien und das Eigentum anderer Menschen respektieren. Die Fakultät ist verpflichtet, dem Office of University Community Standards jedes störende Verhalten zu melden, das ihre Lehrfähigkeit unterbricht, die Sicherheit der Lernumgebung gefährdet oder die Lernfähigkeit der Studenten behindert. Die Fakultäten der HSC Schools und der School of Medicine sind verpflichtet, ihre schulspezifischen Verfahren zu befolgen. Weitere Informationen zu den meisten akademischen Angelegenheiten finden Sie im Undergraduate Bulletin, im Undergraduate Class Schedule und im Faculty-Employee Handbook.


2 - Überblick über das kosmologische Standardmodell

Kosmologie ist die quantitative Untersuchung der Eigenschaften und der Entwicklung des Universums als Ganzes. Seit der Entdeckung der Rotverschiebungs-Distanz-Beziehung durch Hubble im Jahr 1929 haben Beobachtungen die Idee eines expandierenden Universums gestützt, das sich wunderbar durch die Friedmann- und Lemaître-Lösung der Einstein-Gleichungen beschreiben lässt. Grundlage dieser Lösung ist die empirische Beobachtung, dass das Universum auf ausreichend großen Skalen und zu früheren Zeiten bemerkenswert homogen und isotrop ist. Diese experimentelle Tatsache wurde zu einer leitenden Annahme, dem kosmologischen Prinzip, erhoben. Unter der Annahme, dass unser Beobachtungspunkt im Geiste der kopernikanischen Revolution nicht privilegiert ist, wird man natürlich zu dem Schluss geführt, dass alle Beobachtungen, die an verschiedenen Orten im Universum gemacht werden, unabhängig von der Richtung ziemlich gleich aussehen sollten. Homogenität und Isotropie kennzeichnen eine einzigartige Form für die Raumzeitmetrik, den Grundbestandteil der Einstein-Theorie. Kosmologische Modelle können dann nach Spezifikation des Materiegehalts, der als Quelle für die Krümmung dient, quantitativ ausgearbeitet werden. Die Ergebnisse können dann mit astrophysikalischen Daten verglichen werden, die in den letzten Jahrzehnten eine bemerkenswerte Genauigkeit erreicht haben.


Aleksandr Aleksandrovich Friedmann

Alexander FriedmannAls Geburtsdatum wird oft der 29. Juni angegeben. Dies ist jedoch ein Fehler, der bei der Konvertierung des russischen Datums "Old Style" in das Datum "New Style" aufgetreten ist, was eine Addition von 12 Tagen erfordert. Seltsamerweise hat Friedmann sein eigenes Geburtsdatum fälschlicherweise auf den 17. Juni umgerechnet (es hätte 4 + 12 = 16 sein sollen). Da er nicht merkte, dass das von ihm angegebene Datum bereits konvertiert war, wurde es erneut konvertiert (17 + 12 = 29) .

Friedmanns Vater war Balletttänzer, seine Mutter Pianistin. Die Eltern ließen sich jedoch scheiden, als Alexander neun Jahre alt war. Aufzeichnungen zeigen, dass die Kirche auf der Seite des Vaters stand und Alexander bei seinem Vater blieb, der bald wieder heiratete. Alexander trat im August 1897 in das Zweite St. Petersburger Gymnasium ein und seine Bilanz zeigt zunächst eine ganz normale Schulleistung. Schon bald wurde Friedmann jedoch einer der beiden besten Schüler seiner Klasse. Der andere herausragende Schüler war Yakov Tamarkin, ebenfalls ein außergewöhnlicher Mathematiker, und die beiden Jungen waren enge Freunde, fast immer zusammen während ihrer Schul- und Universitätsjahre.

1905 schrieben Friedmann und Tamarkin eine Arbeit über Bernoulli-Zahlen und reichten sie Hilbert zur Veröffentlichung in . ein Mathematische Annalen. Das Papier wurde angenommen und erschien 1906 im Druck. Das Jahr 1905 war für Friedmann nicht nur ein Jahr von großer wissenschaftlicher Bedeutung, sondern auch politisch äußerst aktiv. Friedmann und Tamarkin waren studentische Anführer von Streiks an der Schule aus Protest gegen die repressiven Maßnahmen der Regierung gegen Schulen.

Friedmann machte 1906 seinen Schulabschluss und ging im August desselben Jahres an die Universität von St. Petersburg. Dort wurde er stark von Steklov beeinflusst, der im Jahr Friedmanns Eintritt in St. Petersburg eine Stelle angetreten hatte und Friedmanns politische Ansichten teilte. Auch Friedmann wurde von Ehrenfest beeinflusst, der 1906 nach St. Petersburg übersiedelte. Bis 1907 hatte Ehrenfest ein modernes Physikseminar eingerichtet, das von einigen jungen Physikern und den beiden jungen Mathematikern Friedmann und Tamarkin besucht wurde. Diese Gruppe diskutierte Quantentheorie, Relativität und statistische Mechanik.

Während Friedmann sein Studium in St. Petersburg absolvierte, starb sein Vater. Nach Abschluss seines Studiums im Jahr 1910 verfasste sein wissenschaftlicher Berater Steklov eine Empfehlung für Friedmann, sein Studium fortzusetzen. Der Tod von Friedmanns Vater hatte eindeutig finanzielle Auswirkungen, wie die Referenz angab, siehe [ 3 ] :-

Friedmann begann sein Magisterstudium und schloss sich 1911 einem Studienzirkel der mathematischen Analysis und Mechanik an. Neben Friedmann gehörten dem Kreis auch Tamarkin, Smirnov, Petelin, Shokhat und wenig später Besicovitch an. Friedmann hielt Vorträge über Clebschs Arbeiten zur Elastizität und andere Themen, darunter Goursats Bücher. Während seines Masterstudiums lehrte Friedmann am Bergbauinstitut, wo er mit Nikolai Krylov zusammenarbeitete, und lehrte auch am Eisenbahntechnischen Institut. Durch diese Arbeit interessierte sich Friedmann für die Luftfahrt und veröffentlichte 1911 einen Artikel über das Gebiet, in dem insbesondere die Beiträge von Schukowski und Chaplygin beschrieben wurden.

Bis 1913 hatte Friedmann die für den Magisterabschluss erforderlichen Prüfungen abgelegt, die von Markov, Steklov und anderen geprüft wurden. Im Februar 1913 wurde er an das Aerologische Observatorium in Pawlowsk, einem Vorort von St. Petersburg, berufen, wo er Meteorologie studieren sollte. 1914 ging Friedmann nach Leipzig, um bei Vilhelm Bjerknes, dem damals führenden theoretischen Meteorologen, zu studieren. Friedmann verließ Leipzig im Sommer 1914 und nahm an mehreren Luftschiffflügen teil, um Beobachtungen zu machen.

Als Österreich Serbien nach der Ermordung von Erzherzog Franz Ferdinand im Juni 1914 ein Ultimatum stellte, unterstützte Russland Serbien, so dass Deutschland Österreich unterstützte. Am 1. August 1914 brach der Erste Weltkrieg aus und Friedmann ersuchte bald den Leiter der Sternwarte um die Erlaubnis, sich der Freiwilligen Fliegerabteilung anzuschließen. Er begann mit dem Fliegen von Flugzeugen und war bald an Bombenangriffen beteiligt. Er studierte weiterhin Mathematik, schrieb und tauschte mathematische Ideen mit Steklov per Brief aus. In einem Brief an Seklov vom 5. Februar 1915 schreibt Friedmann, siehe [ 3 ] :-

Friedmann wurde mit seinen Flügen über Przemysl das Georgskreuz für Tapferkeit verliehen. Im Sommer 1915 zog sich die russische Armee an ihrer Südwestfront zurück. Friedmann wurde nach Kiew geschickt und hielt dort Vorlesungen über Luftfahrt für Piloten. Im März 1916 wurde er zum Leiter der Central Aeronautical Station in Kiew ernannt. In Kiew trat Friedmann der Mathematischen Gesellschaft bei, zu deren Mitgliedern Ch T Bialobzeski, P V Voronets, B N Delone, D A Grave, A P Kotelnikov, V P Linnik (IV Linniks Vater) und O Yu Schmidt gehörten. Im April 1917 zog die Central Aeronautical Station nach Moskau und Friedmann zog dorthin.

Die Oktoberrevolution 1917 wurde unvermeidlich, als der Premierminister Alexander Kerenski Truppen entsandte, um zwei bolschewistische Zeitungen zu schließen. Lenin, der sich versteckt hatte, trat öffentlich auf und forderte die Bolschewiki auf, die Regierung zu stürzen. Am Morgen des 26. Oktober verkündete Lenin nach kaum einem Blutvergießen, dass die Sowjets an der Macht seien. Danach wurde die Arbeit der Zentralen Luftfahrtstation eingestellt und Friedmann begann sich nach einem anderen Posten umzusehen, war sich jedoch nicht sicher, welche Richtung er einschlagen sollte, zumal seine Gesundheit durch den Krieg gelitten hatte. Er schrieb an Steklov und sagte:-

Am 13. April 1918 wurde Friedmann zum außerordentlichen Professor am Institut für Mathematik und Physik der Universität Perm gewählt. Unter den jungen Kollegen, die er dort hatte, waren A S Besicovitch, I M Vinogradov, N M Gunter und R O Kuzmin. In Perm gründete Friedmann ein Institut für Mechanik und wurde Mitglied des Herausgeberbeirats der Zeitschrift der neu gegründeten Physikalisch-Mathematischen Gesellschaft der Universität Perm.

Die russische Nation wurde in einen Bürgerkrieg gestürzt. Die Rote Armee war im Februar 1918 mit Trotzki als ihrem Führer gebildet worden. Die Roten stellten sich der Weißen Armee entgegen, die aus Antikommunisten unter der Führung ehemaliger kaiserlicher Offiziere bestand. Tatsächlich hatte Friedmann am 27. April 1918 die Rote Armee in Perm kommentiert, als er schrieb:

Im Frühjahr 1920, während der Bürgerkrieg immer noch tobte, kehrte Friedmann nach St. Petersburg (heute Petrograd) zurück, um eine Stelle am geophysikalischen Hauptobservatorium anzutreten. Friedmann hat es sich nie leicht gemacht und hat 1920 eine beeindruckende Zahl von Ämtern in Petrograd angetreten. Er begann Mathematik und Mechanik an der Universität Petrograd zu unterrichten, wurde Professor an der Fakultät für Physik und Mathematik des Polytechnischen Instituts Petrograd, arbeitete in der Abteilung für Angewandte Luftfahrt am Institut für Eisenbahntechnik in Petrograd, arbeitete an der Marineakademie und forschte an der Atomic Kommission am Optischen Institut.

1922, neun Jahre nach Abschluss der Prüfungen für diesen Magister, legte Friedmann seine Magisterarbeit vor. Die Dissertation trug den Titel Die Hydromechanik eines kompressiblen Fluids und bestand aus zwei Teilen, der erste über die Kinematik von Wirbeln und der zweite über die Dynamik eines kompressiblen Fluids. Es war diese Arbeit, die die späteren Arbeiten zur Hydrodynamik von Kochina anregte.

Friedmann hatte bald nach seiner Rückkehr nach Petrograd ein neues Interesse entwickelt. Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie, obwohl sie 1915 veröffentlicht wurde, war in Russland aufgrund des Ersten Weltkriegs und des Bürgerkriegs nicht bekannt. Ende 1920 schrieb Friedmann in einem Brief an Ehrenfest:

Im Juli 1925 machte Friedmann einen rekordverdächtigen Aufstieg in einem Ballon auf 7400 Meter, um meteorologische und medizinische Beobachtungen zu machen. Er kehrte nach Leningrad zurück (Petrograd war 1924 in Leningrad umbenannt worden). Gegen Ende August 1925 begann Friedmann sich unwohl zu fühlen. Bei ihm wurde Typhus diagnostiziert und er wurde ins Krankenhaus gebracht, wo er zwei Wochen später starb.


Schau das Video: ART Lektion - Kosmologisches Prinzip und Herleitung der Friedmann Gleichungen mit der ART (August 2022).