Astronomie

Bestimmung der Fläche von Lagrange-Punkten

Bestimmung der Fläche von Lagrange-Punkten

Ich habe mir die Lagrange-Punkte anständig angesehen und sehe viele Bilder, die die L4- und L5-Standorte als weite Bereiche zeigen. Die Trojanischen Asteroiden des Jupiter sind ein gutes Beispiel dafür. Außerdem wird L3 manchmal als Einschub der Hill Sphere gezeigt [aber das ist eine andere Frage]. Ich gehe davon aus, dass jeder Punkt ein unendlich kleiner Punkt im Raum an der exakten mathematischen Position ist (ohne Berücksichtigung anderer Gravitationseffekte, die dort sein könnten).

Meine Frage: Gibt es eine Möglichkeit, die "stabile" Region in jedem Lagrange-Standort zu bestimmen? Besonders in den Regionen L4 und L5.

Im Wesentlichen würde ich gerne wissen, wie viel zusätzlicher Schub ein Fahrzeug benötigt, um an diesen Orten zu bleiben, je nachdem, wie weit es vom Zentrum des Lagrange-Punktes entfernt ist.


Meine Frage: Gibt es eine Möglichkeit, die "stabile" Region in jedem Lagrange-Standort zu bestimmen? Besonders in den Regionen L4 und L5.

tl;dr: Ja, aber es ist normalerweise eine schicke Version von "Trial and Error".

Uns wird manchmal fälschlich gesagt, dass dieses abscheuliche Nullgeschwindigkeits-Potentialdiagramm Bereiche zeigt, die an Lagrange-Punkte "gebunden" oder "ungebunden" sind, aber das tut es nicht und das ist offensichtlich, denn während die Oberfläche in der Nähe von L1, L2 und L3 eintaucht es ist ein Maximum in der Nähe von L4 und L5 und doch wissen wir, dass diese Regionen bei einigen Massenverhältnissen trojanische Asteroiden sammeln und akkumulieren können.

Quelle

Das Problem ist, dass dies 2D-Diagramme des Pseudopotentials bei einer bestimmten Geschwindigkeit sind. Das Pseudopotential ist gegeben durch

$$C = omega^2 (x^2+y^2) + 2left(frac{mu_1}{r_1} + frac{mu_2}{r_2} ight) - (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$$ und diese Nullgeschwindigkeitsflächen, die Konturen sind, wenn sie in einer 2D-Schicht gezeichnet werden, zeigen überhaupt keine Umlaufbahnen. Wenn Sie einen Partikel auf eine andere Kontur als $C=0$ es wird eher beschleunigen, als einer dieser Linien zu folgen.

Stattdessen führen die Leute numerische Simulationen mit einer ganzen Reihe von Startpositions- und Geschwindigkeitsvektoren durch und finden durch eine schicke Version von "Trial and Error" heraus, welche Teilchen mit der gleichen Geschwindigkeit wieder an derselben Position landen, an der sie gestartet sind Vektor, mit dem sie begonnen haben. Jedes Mal, wenn sie eine geschlossene, periodische Umlaufbahn finden, hilft es, die "stabile Region" abzubilden.

Ein Beispiel für eine Methode zum Auffinden von Regionen des 4D- oder 6D-Phasenraums ($x, y, v_x, v_y $ oder $x, y, z, v_x, v_y, v_z$), die geschlossene periodische Bahnen haben, ist die Schießmethode, die durch die Verwendung der Übergangsmatrix beschleunigt werden kann.

In Abbildung 1 von F. Marzari et al. Ursprung und Entwicklung trojanischer Asteroiden Sie können sehen, wie verlockend es ist, eine Nullgeschwindigkeitskontur zu verwenden, um anzuzeigen, wo die Region stabiler Umlaufbahnen liegt, ohne es tatsächlich zu sagen. Stattdessen werden die Worte "sind eng verwandt mit" verwendet.

Abb. 1. Die Lage der fünf Lagrange-Gleichgewichtspunkte im zirkulareingeschränkten Dreikörperproblem. Die Primär- und Sekundärmasse (in unseren Beispielen Sonne und Planet) werden durch die großen bzw. kleinen ausgefüllten Kreise bezeichnet. Die ausgewählten Null-Velocity-Kurven (siehe Text) sind eng verwandt mit die Arten von Umlaufbahnen, die im System auftreten können. Die Buchstaben P, H und T bezeichnen Passier-, Hufeisen- und Kaulquappenbahnen. Beachten Sie, dass die beiden Massen und jede der L4 und ich5 Punkte bilden ein gleichseitiges Dreieck.

Will man über ein kreisförmig eingeschränktes Drei-Körper-Modell hinaus zum realen Sonnensystem, werden numerische Simulationen viel komplexer, da sich diese Bahnen aufgrund all der Realitätsabweichungen vom einfachen CR3BP-Modell langfristig entwickeln. Siehe nur ein Beispiel Die Resonanzstruktur der Trojanischen Asteroiden des Jupiter - I. Langzeitstabilität und Diffusion


Bestimmung der Fläche von Lagrange Points - Astronomie

Nun werden die Bewegungsgleichungen der Masse im mitrotierenden Rahmen in den Gleichungen (1056)-(1058) spezifiziert. Beachten Sie, dass die Bewegung in der - Ebene durch die Coriolis-Beschleunigung kompliziert wird. Die Bewegung parallel zur -Achse entspricht jedoch einfach der Bewegung im Potential. Damit ist die Bedingung für die Stabilität der Lagrange-Punkte (die alle bei liegen) gegenüber kleinen Verschiebungen parallel zur -Achse einfach (siehe Abschnitt 3.2)

Diese Bedingung ist überall in der - Ebene erfüllt. Daher sind die Lagrange-Punkte alle gegenüber kleinen Verschiebungen parallel zur -Achse stabil. Es bleibt also ihre Stabilität gegenüber kleinen Verschiebungen innerhalb der - Ebene zu untersuchen.

Angenommen, ein Lagrange-Punkt liegt in der Ebene bei Koordinaten. Betrachten wir kleine Amplitude - Bewegung in der Nähe dieses Punktes durch Schreiben

wo und sind unendlich klein. Durch Erweiterung um den Lagrange-Punkt als Taylorreihe und Beibehaltung von Termen bis zur zweiten Ordnung in kleinen Mengen erhalten wir

wobei , , , usw. Per Definition jedoch an einem Lagrange-Punkt, so dass sich die Expansion zu vereinfacht

Schließlich ergibt die Einsetzung der Gleichungen (1097)-(1099) und (1101) in die Bewegungsgleichungen (1056) und (1057)

Suchen wir nach einer Lösung des obigen Gleichungspaares der Form und . Wir erhalten

Diese Gleichung hat nur dann eine nicht-triviale Lösung, wenn die Determinante der Matrix Null ist. Daher erhalten wir

Jetzt ist es bequem zu definieren

wobei alle Terme an der Stelle ausgewertet werden. Daraus folgt, dass

Betrachten Sie die kolinearen Lagrange-Punkte , , und . Diese liegen alle auf der -Achse und sind somit gekennzeichnet durch , , und . Aus den obigen Gleichungen folgt, dass und . Daher , , und . Gleichung (1105) liefert somit

wo . Damit ein Lagrange-Punkt gegenüber kleinen Verschiebungen stabil ist, müssen alle vier Wurzeln, , von Gleichung (1105) rein imaginär sein. Dies wiederum impliziert, dass die beiden Wurzeln der obigen Gleichung,

muss sowohl reell als auch negativ sein. Das Stabilitätskriterium lautet also

Abbildung 56 zeigt die Berechnung an den drei kolinearen Lagrange-Punkten als Funktion von , für alle zulässigen Werte dieses Parameters (d. h. ). Es ist ersichtlich, dass für alle drei Punkte immer größer als Eins ist. Daraus schließen wir, dass die kolinearen Lagrange-Punkte , , , und , intrinsisch instabile Gleichgewichtspunkte im mitrotierenden System sind.

Abbildung 56: Die durchgezogenen, kurzgestrichelten und langgestrichelten Kurven zeigen als Funktion von an den Punkten , , und Lagrange.

Betrachten wir nun die dreieckigen Lagrange-Punkte und . Diese Punkte sind gekennzeichnet durch . Daraus folgt , , , und . Daher , , und , wobei die oberen/unteren Zeichen jeweils und entsprechen. Gleichung (1105) liefert somit

für beide Punkte, wo . Das Stabilitätskriterium ist wie zuvor, dass die beiden Wurzeln der obigen Gleichung sowohl reell als auch negativ sein müssen. Dies ist der Fall, vorausgesetzt 27,mu_2,(1-mu_2)$ --> , was das Stabilitätskriterium

In nicht normalisierten Einheiten wird dieses Kriterium zu

Daraus schließen wir, dass die und Lagrange-Punkte stabile Gleichgewichtspunkte im gleichläufigen Rahmen sind, vorausgesetzt, dass die Masse kleiner als etwa der Masse ist. Wenn dies der Fall ist, kann die Masse diese Punkte unbegrenzt umkreisen. Im Trägheitssystem teilt sich die Masse die Umlaufbahn der Masse um die Masse , bleibt aber ungefähr vor der Masse , wenn sie den Punkt umkreist, oder hinter , wenn sie den Punkt umkreist – siehe Abbildung 55. Diese Art von Verhalten wurde im Sonnensystem beobachtet. Zum Beispiel gibt es eine Unterklasse von Asteroiden, die als Trojanische Asteroiden bekannt sind, die in der Nähe der und Punkte des Sonne-Jupiter-Systems gefangen sind (die das obige Stabilitätskriterium leicht erfüllen) und folglich die Umlaufbahn von Jupiter teilen die Sonne, die ungefähr vor bzw. hinter Jupiter steht. Außerdem sind die Punkte und des Sonne-Erde-Systems von Staubwolken besetzt.
Weiter: Mondbewegung nach oben: Das Drei-Körper-Problem Zurück: Nullgeschwindigkeitsoberflächen Richard Fitzpatrick 2011-03-31


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In: Astrophysikalisches Journal, Vol. 2, No. 660, Nr. 2 I, 10.05.2007, S. 1. 1624-1635.

Forschungsergebnis : Beitrag zu Zeitschrift › Artikel › peer-review

T1 - Äquipotentialflächen und Lagrange-Punkte in asynchronen, exzentrischen Binär- und Planetensystemen

N2 - Wir untersuchen die Existenz und Eigenschaften von Äquipotentialflächen und Lagrange-Punkten in asynchronen, exzentrischen Doppelstern- und Planetensystemen unter der Annahme quasi-statischer Gleichgewichte. Wir nehmen ein binäres Potential an, das nichtsynchrone Rotation und exzentrische Bahnen berücksichtigt und berechnen die Lage der Lagrange-Punkte als Funktionen des Massenverhältnisses, des Grades der Asynchronität, der Bahnexzentrizität und der Position der Sterne oder Planeten auf ihrer relativen Bahn. Wir stellen fest, dass die Geometrie der Äquipotentialflächen nichtkonservativen Massentransfer in nichtsynchronen, exzentrischen Doppelstern- und Planetensystemen erleichtern kann, insbesondere wenn die Komponentensterne oder Planeten supersynchron auf dem Periastron ihrer relativen Umlaufbahn rotieren. Wir berechnen auch den volumenäquivalenten Radius der Roche-Keule als Funktion der vier oben genannten Parameter. Entgegen der gängigen Praxis stellen wir fest, dass die Ersetzung des Radius einer Kreisbahn in der Anpassungsformel von Eggleton durch den momentanen Abstand zwischen den Komponenten exzentrischer Doppel- oder Planetensysteme nicht immer zu einer guten Annäherung an den volumenäquivalenten Radius des Roche-Lappen. Wir bieten daher verallgemeinerte analytische Anpassungsformeln für den volumenäquivalenten Roche-Keulenradius, der für nichtsynchrone, exzentrische Doppelstern- und Planetensysteme geeignet ist. Diese Formeln sind im gesamten relevanten zweidimensionalen Parameterraum, der einen Dynamikbereich von 16 und 6 Größenordnungen in den beiden Dimensionen abdeckt, auf besser als 1 % genau.

AB - Wir untersuchen die Existenz und Eigenschaften von Äquipotentialflächen und Lagrange-Punkten in asynchronen, exzentrischen Doppelstern- und Planetensystemen unter der Annahme quasi-statischer Gleichgewichte. Wir nehmen ein binäres Potential an, das nichtsynchrone Rotation und exzentrische Bahnen berücksichtigt und berechnen die Lage der Lagrange-Punkte als Funktionen des Massenverhältnisses, des Grades der Asynchronität, der Bahnexzentrizität und der Position der Sterne oder Planeten auf ihrer relativen Bahn. Wir stellen fest, dass die Geometrie der Äquipotentialflächen nichtkonservativen Massentransfer in nichtsynchronen, exzentrischen Doppelstern- und Planetensystemen erleichtern kann, insbesondere wenn die Komponentensterne oder Planeten supersynchron auf dem Periastron ihrer relativen Umlaufbahn rotieren. Wir berechnen auch den volumenäquivalenten Radius der Roche-Keule als Funktion der vier oben genannten Parameter. Entgegen der gängigen Praxis stellen wir fest, dass die Ersetzung des Radius einer Kreisbahn in der Anpassungsformel von Eggleton durch den momentanen Abstand zwischen den Komponenten exzentrischer Doppel- oder Planetensysteme nicht immer zu einer guten Annäherung an den volumenäquivalenten Radius des Roche-Lappen. Wir bieten daher verallgemeinerte analytische Anpassungsformeln für den volumenäquivalenten Roche-Keulenradius, der für nichtsynchrone, exzentrische Doppelstern- und Planetensysteme geeignet ist. Diese Formeln sind im gesamten relevanten zweidimensionalen Parameterraum, der einen Dynamikbereich von 16 und 6 Größenordnungen in den beiden Dimensionen abdeckt, auf besser als 1 % genau.


Erde Mond

Werfen wir einen Blick auf das Zwei-Körper-System Erde-Mond. Der Mond dreht sich etwa einmal im Monat um die Erde. Seine Umlaufbahn ist elliptisch, aber der durchschnittliche Radius beträgt etwa 239.000 Meilen (385.000 km).

Die Erde ist etwa 81-mal massereicher als der Mond. Die Schwerkraft, die es auf andere Objekte ausübt, ist relativ zum Mond ähnlich stärker. Wenn wir eine Testmasse (einen dritten Körper) einfügen, erfährt sie zwischen diesen beiden Entitäten Kräfte von beiden. (Testmasse bedeutet in diesem Fall, dass etwas im Vergleich zu den anderen beiden Körpern so unbedeutend ist, dass seine Wirkung auf sie belanglos ist). Ein Satellit oder ein Raumfahrzeug, das die Erde umkreist, macht für die Umlaufbahn des Mondes weniger Unterschied als eine Fliege, die auf dem Deck eines riesigen Kreuzfahrtschiffes landet, für die Trimmung des Bootes.

Oben, nicht maßstabsgetreu, befindet sich ein Satellit in einer geozentrischen Umlaufbahn (der die Erde umkreist) irgendwo zwischen der Erde und dem Mond. Es wird durch die Schwerkraft der Erde zur Erde gezogen. Es wird von der Masse des Mondes zum Mond gezogen. Da die Erde so viel größer ist, ist ihre Anziehungskraft größer, aber aufgrund des inversen Quadrats nimmt diese schnell ab, wenn sich der Satellit weiter von der Erde entfernt. Wo ist die Anziehungskraft der Erde gleich der Anziehungskraft des Mondes? Wo diese Dinge gleich sind, haben wir etwas namens a Schwerkraft-Neutralpunkt.

Oben ist ein Diagramm der Kräfte, die auf den Satelliten basierend auf seiner Position wirken würden, normalisiert auf der x-Achse ist der Abstand zwischen der Erde und dem Mond. Die y-Skala ist logarithmisch. Wo sich die beiden Kurven schneiden, ist der neutrale Punkt der Schwerkraft. Wie Sie sehen können, sind dies ungefähr 90% des Weges zum Mond, da die Erde dominiert.

Das ist ziemlich nahe am Mond ungefähr 24.000 Meilen (vom Zentrum des Mondes).

Dieser Punkt hat eine besondere Bedeutung, da theoretisch ein Objekt näher zum Mond als diese Entfernung zum Mond gezogen wird, und ein Objekt weiter weg vom Mond als dieser Punkt zur Erde zurückgezogen wird. Es ist der Kamm des Hügels. Wenn Sie zwischen Mond und Erde reisen und diesen Punkt passieren würden, selbst ohne Antrieb, würden Sie von der Schwerkraft des Mondes erfasst und langsam hineingezogen. Oder würden Sie?

Dieser Punkt wird fälschlicherweise Lagrange-Punkt genannt (genauer gesagt L1, oder Langrange Punkt 1) durch schlechte, schlechte Physik-Lehrbücher und -Blogs. Das ist falsch. Einige Bücher sagen sogar, dass, wenn Sie einen Cent am neutralen Punkt platzieren, er dort bleibt und nicht in eine Richtung gezogen wird, dies ist auch Müll! (aus mehreren Gründen).

Der Gravitationsneutralpunkt ist NICHT ein Lagrange-Punkt.

Lassen Sie uns dazu beitragen, dass das Internet dieses Misstrauen nicht weiter verbreitet. Mal sehen, was Lagrange Points wirklich sind &hellip

Lagrange-Punkte

Das Problem bei der oben beschriebenen Situation besteht darin, dass die unrealistische Annahme gemacht wird, dass sich die Objekte nicht bewegen. Wir wissen jedoch, dass der Mond die Erde umkreist. Erinnern Sie sich an die Animation früher im Artikel? Wir haben festgestellt, dass ein Satellit nur dann mit der gleichen Periode wie ein anderer umkreisen kann, wenn er die gleiche Entfernung vom Zentrum hat. Ein Penny, der von diesem "Schwerkraft-Neutralpunkt" übrig bleibt, ist näher an der Erde als der Mond, folglich kreist er im Inneren (und schneller) als der Mond und saust davon.

Jetzt, es gibt einen punkt zwischen der Erde und dem Mond, wo ein Penny (oder Satellit) mit der gleichen Geschwindigkeit um den Mond kreisen kann (und somit mit ihm in Kontakt bleiben), und es ist diese was wir a nennen Lagrange-Punkt.

Es gibt einen Punkt zwischen der Erde und dem Mond, an dem ein dort platziertes Objekt, obwohl es einen kleineren Radius hat (und daher schneller umkreisen möchte), von der Schwerkraft des Mondes mit genau der richtigen Kraft angezogen wird, um den Unterschied zwischen die Winkelbeschleunigungen, was die resultierende Kraft auf den Satelliten reduziert und ihn mit der gleichen Zeitdauer wie der Mond umkreist.

Dieser Punkt zwischen den beiden großen Körpern heißt L1, oder Langrange-Punkt 1 (manchmal ein Libration-Punkt). Wir werden später sehen, wie dieser Abstand berechnet wird, aber der L1 ist der Erde deutlich näher als der Gravitationsneutralpunkt (Der L1 Punkt ist ca. 84% des Weges zum Mond vgl. die für den Sternpunkt berechneten 90%). Vorbei am L1 Punkt markiert den Ort, an dem der Satellit aufhört, die Erde zu umkreisen und den Mond zu umkreisen beginnt.

Aber ich1 ist nicht der einzige Punkt, an dem ein Satellit im gleichen Zeitraum wie der Mond umkreisen kann. Es gibt mehr &hellip

Auf der Andere Seite des Mondes, ist eine Umlaufbahn, die normalerweise eine längere Zeitdauer als der Mond haben würde, aber die kombiniert Die Summe der Gravitation von Mond und Erde zieht den Satelliten stärker an und lässt ihn mit der gleichen Zeitdauer wie der Mond umkreisen. Dieser Punkt heißt L2.

Wir sind noch nicht fertig, es gibt noch mehr &hellip

Es gibt auch einen Punkt, auf der Andere Seite der Erde, ziemlich genau gegenüber dem Mond, wo die Kraft der Erde und die sehr schwache Kraft des Mondes zusammenkommen, um einen Satelliten dort in eine Umlaufbahn zur gleichen Zeit wie der Mond zu bringen. Dieser Punkt heißt L3. (Der Radius dieser Umlaufbahn ist geringfügig größer als der des Mondes, da die auf ihn wirkende Kraft die kombinierte Anziehungskraft von Erde und Mond ist).

Die Lage von L1 ist die Lösung der folgenden Gleichung, die Gravitation und Zentripetalkraft ausbalanciert:

Hier r ist der Abstand vom L1 auf den Mond zeigen, R ist die Entfernung zwischen Mond und Erde, und Me und Mich sind die Massen der Erde bzw. des Mondes.

Wenn wir dies für r neu anordnen, ergibt sich eine quintische Gleichung, die gelöst werden muss, aber wenn wir die Erkenntnis anwenden, dass Me >> Mich, dann vereinfacht sich dies stark zu dieser Näherung:

Ebenso für L2, kann die Lösung aus dem Ausgleich der Gravitations- und Zentripetalkraft auf der anderen Seite des Mondes berechnet werden:

Die Anwendung der gleichen Vereinfachung wie oben führt zur gleichen Antwort. Mit dieser Näherung ist der L2 Punkt hat den gleichen Abstand von der Rückseite des Mondes wie der L1 Punkt ist vorne.

Endlich der Standort für L3 ist die Lösung dieser Gleichung (obwohl hier, r ist der Abstand, den L3 kommt von der Erde, nicht vom Mond).

Auch hier ermöglicht die Anwendung der Vereinfachung die Bestimmung dieser Näherung:

L1, L2, und ich3

L1, L2, und ich3 alle liegen in einer geraden Linie durch den Mittelpunkt von Erde und Mond. Das Konzept dieser drei Punkte wurde von Leonard Euler entdeckt.

Ein paar Jahre später stellte der italienische Mathematiker Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier jedoch fest, dass es tatsächlich fünf Punkte, daher werden sie nach ihm als Lagrange-Punkte benannt.

Wo sind also die anderen beiden Punkte?

L4 und ich5

L4 und ich5 sind symmetrisch zu beiden Seiten der Mittellinie und an Positionen 60° davon entfernt an den Scheitelpunkten gleichseitiger Dreiecke (wobei die anderen Scheitelpunkte der Mittelpunkt des Mondmittelpunkts und der Schwerpunkt des Erde-Mond-Systems sind) platziert.

Der Schwerpunkt ist der gemeinsame Schwerpunkt des Erde-Mond-Paares, und um diesen Punkt drehen sich die beiden wie eine Bolas. Da die Erde jedoch erheblich massereicher ist als der Mond, befindet sich der Schwerpunkt immer noch im Inneren der Erde (er liegt etwa 1.700 km unter der Oberfläche). Wenn Mond und Erde näher an der gleichen Masse wären, würde der Schwerpunkt, um den sie sich drehen würden, außerhalb von beiden liegen, und sie würden sich wie eine riesige Hantel darum drehen.

Zufällig ist es im Erde-Mond-System eher wie das Wackeln eines olympischen Hammerwerfers, wenn er sich dreht.

Das L4 und ich5 Punkte liegen auf einer Umlaufbahn knapp außerhalb der Umlaufbahn des Mondes, und die Vektormathematik gleicht sich so aus, dass die Anziehungskraft des Mondes entlang dieser Linie gleich der Komponente von der Erde ist. Dieses Vektordreieck ist in diesem Diagramm aus Wikipedia zu sehen.

L4 wird traditionell als der die Umlaufbahn führende Punkt definiert, und L5 zurückgeblieben.


Bestimmung der Fläche von Lagrange Points - Astronomie

Lagrange-Punkte, auch L-Punkte, sind die fünf Positionen in einer Orbitalkonfiguration, an denen ein kleines Objekt, das nur von der Schwerkraft beeinflusst wird, theoretisch relativ zu zwei größeren Objekten (wie einem Satelliten in Bezug auf Erde und Mond) stationär sein kann. Die Lagrange-Punkte markieren Positionen, an denen die kombinierte Anziehungskraft der beiden großen Massen genau die Zentripetalkraft liefert, die erforderlich ist, um mit ihnen zu rotieren. Sie sind den geostationären Umlaufbahnen insofern analog, als sie es einem Objekt ermöglichen, sich in einer "festen" Position im Raum zu befinden und nicht in einer Umlaufbahn, in der sich seine relative Position ständig ändert.

Lagrange-Punkte sind die stationären Lösungen des zirkular eingeschränkten Dreikörperproblems. Bei zwei massiven Körpern auf Kreisbahnen um ihren gemeinsamen Massenmittelpunkt gibt es beispielsweise fünf Positionen im Raum, an denen ein dritter Körper mit vergleichsweise vernachlässigbarer Masse platziert werden könnte, der dann seine Position relativ zu den beiden massiven Körpern beibehalten würde. Wie in einem rotierenden Referenzsystem mit der gleichen Periode wie die beiden umkreisenden Körper zu sehen, sind die Gravitationsfelder zweier massiver Körper kombiniert mit der Kreisbewegung des Satelliten an den Lagrange-Punkten im Gleichgewicht, sodass der dritte Körper in Bezug auf die ersten beiden Körper. P> Die drei kollinearen Lagrange-Punkte wurden erstmals um 1750 von Leonhard Euler entdeckt.

1772 arbeitete der italienisch-französische Mathematiker Joseph Louis Lagrange an dem berühmten Drei-Körper-Problem, als er eine interessante Eigenart in den Ergebnissen entdeckte. Ursprünglich hatte er sich auf die Suche nach einer Möglichkeit gemacht, die Gravitationswechselwirkung zwischen einer beliebigen Anzahl von Körpern in einem System einfach zu berechnen, denn die Newtonsche Mechanik kommt zu dem Schluss, dass ein solches System dazu führt, dass die Körper chaotisch umkreisen, bis es zu einer Kollision kommt oder ein Körper geworfen wird aus dem System, damit ein Gleichgewicht erreicht werden kann.

Die Logik hinter dieser Schlussfolgerung ist, dass ein System mit einem Körper trivial ist, da es relativ zu sich selbst nur statisch ist. Ein System mit zwei Körpern ist das relativ einfache Zwei-Körper-Problem, bei dem die Körper um ihren gemeinsamen Schwerpunkt kreisen. Sobald jedoch mehr als zwei Körper eingeführt werden, werden die mathematischen Berechnungen sehr kompliziert. Es entsteht eine Situation, in der Sie jede Gravitationswechselwirkung zwischen jedem Objektpaar an jedem Punkt seiner Flugbahn berechnen müssten.

Lagrange wollte dies jedoch einfacher machen. Er tat dies mit einer einfachen Hypothese: Die Flugbahn eines Objekts wird bestimmt, indem ein Weg gefunden wird, der die Aktion im Laufe der Zeit minimiert. Dies wird durch Subtrahieren der potentiellen Energie von der kinetischen Energie gefunden. Mit dieser Denkweise hat Lagrange die klassische Newtonsche Mechanik neu formuliert, um die Lagrangesche Mechanik hervorzubringen. Mit seinem neuen Berechnungssystem führte ihn Lagranges Arbeit zu der Hypothese, wie ein dritter Körper mit vernachlässigbarer Masse zwei größere Körper umkreisen würde, die sich bereits in einer nahezu kreisförmigen Umlaufbahn befanden.

In einem Bezugsrahmen, der mit den größeren Körpern rotiert, fand er fünf spezifische Fixpunkte, an denen der dritte Körper eine Nullkraft erfährt, während er der Kreisbahn seiner Wirtskörper (Planeten) folgt. Diese Punkte wurden Lagrange zu Ehren „Lagrange-Punkte“ genannt. Es dauerte über hundert Jahre, bis seine mathematische Theorie 1906 mit der Entdeckung der trojanischen Asteroiden an den Lagrange-Punkten des Sonnen-Jupiter-Systems beobachtet wurde.

Im allgemeineren Fall von elliptischen Bahnen gibt es keine stationären Punkte mehr im gleichen Sinne: es wird mehr eine Lagrangesche Fläche . Die zu jedem Zeitpunkt konstruierten Lagrange-Punkte bilden wie im kreisförmigen Fall stationäre elliptische Bahnen, die den Bahnen der massiven Körper ähnlich sind. Lagrange-Punkte Wikipedia


Partnerschaft für die Integration von Computern in das Physikstudium

Entwickelt von Nicholas Nelson - Veröffentlicht am 17. Juli 2018

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Lösungen

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Verweise

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Credits und Lizenzierung

Nicholas Nelson, "Finding the Earth-Sun Lagrange Points", veröffentlicht in der PICUP Collection, Juli 2018.


Lagrangesche Stochastikrechnung

Wie der Titel treffend andeutet, behaupten die Memoiren von 1776 [10] mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung die interessante Wahrheit, dass bei der Mittelwertbildung aus mehreren Messungen Fehler unvermeidlich sind, man aber hoffen kann, sie „kompensieren“ zu können . Wird dabei die Genauigkeit der separat durchgeführten Messungen verbessert und wenn ja, wie?

Das Problem wurde von Thomas Simpson in „A Letter to the Right Honourable George Earl“ [24], veröffentlicht 1755 in der Transaktionen der Königlichen Gesellschaft. Lagrange zitiert Simpson nie, aber es ist schwer zu glauben, dass er die Memoiren nicht kannte. Er kannte und schätzte Simpsons mathematische Arbeit, die er manchmal mit d’Alembert besprochen hatte. Fußnote 3 Es gibt daher keinen Grund, warum er diese Diskussion nicht gelesen hätte, zumal sie 1757 im Sonstiges Taurinensia, die von den Gelehrten der Zeit oft zitiert wurde. Simpson war der erste oder einer der ersten, der die Verwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Beobachtungstheorie vorschlug, insbesondere in der physikalischen Astronomie, wo jede Messung Fehlern unterliegt und nur teilweise reproduzierbar ist. Wie Lagrange in der Einleitung zu seinen Memoiren schrieb, geht man in der probabilistischen Beobachtungstheorie davon aus, dass „les erreurs qui peuvent se glisser dans chaque Beobachtung sont données et qu’on connoisse aussi le nombre de cas qui peuvent donner ces erreurs, c’est-à-dire la facilité de chaque erreur“ (Angegeben sind die Fehler, die sich in jede Beobachtung einschleichen können, und somit kennen wir die Anzahl der Fälle, die diese Fehler geben können, d. h. die Wahrscheinlichkeit jedes Fehlers). Lagrange benutzte recht häufig das Substantiv erleichtern (Einrichtung), die im diskreten Fall allgemein die Anzahl der Fälle oder die Wahrscheinlichkeit einer Konstanten bezeichnet, die heute Dichte im kontinuierlichen Fall genannt wird.

Man nimmt also als bekannt „les limites entre lesquelles toutes les erreurs possibles doivent être renfermées avec la loi de leur facilité“ (die Grenzen, innerhalb derer alle möglichen Fehler nach dem Gesetz ihrer Einrichtung enthalten sein müssen). Er fährt fort: „Je chercherai dans l’une et dans l’autre de ces hypothèses, quelle est la probabilité que l’erreur du résultat moyen soit nulle ou égale à une quantité donnée“ (Ich werde in beiden Hypothesen nach der Wahrscheinlichkeit suchen, dass der Fehler des resultierenden Mittelwerts null oder gleich einer gegebenen Größe ist).

Zum Beispiel Problem I, Nr. 1 nimmt an, dass in jeder Beobachtung die Fehler nur 0, +1 oder –1 sein können und dass es ein Fälle für 0, und b Fälle sowohl für +1 als auch für -1 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein genaues Ergebnis zu erhalten, wenn der Mittelwert der einzelnen Ergebnisse einer Zahl gebildet wird? nein von Beobachtungen?

Dieses Problem, sagt Lagrange, reduziert sich auf das Folgende. Einer wirft nein mal ein Würfel, der hat ein + 2b Gesichter, davon ein sind mit 0 gekennzeichnet, b sind mit 1 gekennzeichnet und b sind mit -1 gekennzeichnet. “Trouver la probabilité qu’il y a d’amener zéro“ (Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, mit Null zu kommen), das heißt, dass die Summe der Gesichter Null ist. Dieses Problem ist ein Klassiker aus dem frühen 18. Jahrhundert, als es insbesondere von Montmort, Nicolas I Bernoulli und de Moivre behandelt wurde. Dies ist genau das Problem, manchmal auch Punkteproblem genannt, das das eines Würfels verallgemeinert f Gesichter, die jeweils mit einer ganzen Zahl gekennzeichnet sind e 1, e 2, …, e f, geworfen nein Zeiten, die de Moivre im ersten Teil seiner Theorie der Erzeugungsfunktionen behandelt hat (der zweite Teil besteht aus wiederkehrenden Reihen, auf die wir hier nicht eingehen). Einem so hergestellten Würfel ist das Polynom ( x^ <>> + x^ <>> + ldots + x^ <<>>>) . Die Anzahl der Möglichkeiten, eine Summe zu erhalten so im nein Würfe ist gleich dem Koeffizienten der Leistung x so in der Polynomentwicklung:

Die Methode von de Moivre [6] von 1756 (die 1730, 1738 und 1756 mehrmals veröffentlicht wurde) wurde in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts zum Klassiker. Lagrange kannte es natürlich und verwendete es in seinen Memoiren, insbesondere in Problem I, wo er darauf zurückgriff, um den konstanten Term der Potenz zu berechnen

Dies ist nicht sehr schwierig, zum Beispiel schlug Lagrange vor, zu schreiben ein + b(x + x −1 ) in der Form

mit α und β so dass α 2 + β 2 = ein und αβ = b.

Man hebt das Produkt (p) an die Macht nein: die gesuchte Konstante ist gleich der Summe der Koeffizienten der Binomialentwicklung (α + βx) nein .

Zum Beispiel, vorausgesetzt ein = 2b, und ( alpha = eta = sqrt b ) , ist die gesuchte Konstante gleich:

Lagrange beobachtet etwas weiter, in Nr. 6, dass die Summe der Quadrate der Koeffizienten des Binomials (1 + 1) nein hat eine einfache Form, ( sum_^ <(C_^ )^ <2>= C_<2n>^ ,> ) eine kombinatorische Formel, die sich beispielsweise daraus ergibt, dass ( ​​sum_^ <(C_^ )^ <2>= sum_^ <>^ C_^ > > ) und dass das zweite Mitglied eine Möglichkeit ist, die Kombinationen von 2 . zu zählennein Gegenstände der Klasse nein. Auch Laplace hat diese Formel in einem Brief an Lagrange vom 11. August 1780 sofort erneut bewiesen [[15], Bd. XIV, S. 95–96].

Lagrange war offensichtlich glücklich, über dieses Thema zu streuen und von einer Formel abzuweichen, um ein oder zwei algebraische oder kombinatorische Nuggets zu generieren. Erinnern wir uns an einen, der besonders elegant ist.

In Nr. 5, Anmerkung I, macht sich Lagrange daran, die Gesetze zu finden, die die Einrichtungen regeln und wie sie berechnet werden, wenn nein variiert, im allgemeinen Fall, wo ein und b sind willkürlich.

Lagrange behandelte ebenfalls den Fall, dass die Fehler die drei Werte 0, –1 und . annehmen r, wo r eine positive ganze Zahl ist, und obwohl wir der Kürze halber nicht darauf eingehen werden, brauchen wir nicht an ihrer Genialität zu zweifeln. Stattdessen betrachten wir den Fall, in dem die Möglichkeiten der Fehler unbekannt sind und ausgehend von den Beobachtungen bestimmt werden müssen. Angesichts ihrer Bedeutung werden wir diese Studie im nächsten Abschnitt durchführen. Lassen Sie uns hier kurz den letzten Teil von Lagranges Memoiren betrachten, der die Fazilität der Summe oder des Mittelwerts von nein Fehler können willkürliche Werte annehmen. Diese Studie basiert offensichtlich auf den bereits erwähnten Ergebnissen von Simpson, jedoch mit zusätzlichen Elementen, die ganz grundlegend sind und einen bemerkenswerten Eindruck auf den jungen Laplace machen würden, der sie wiederum in einer sehr wichtigen Memoiren aufgreifen würde [22], eine Laplace-Antwort auf Lagrange.

Das erste von Lagrange behandelte Problem ist das klassische Punkteproblem. Man nimmt einen Würfel von f regelmäßige Gesichter, von denen jedes die gleiche Möglichkeit hat, aufzutauchen. Das ist geworfen nein Mal und bestimmt das Gesetz der Summe der Punkte, die in den verschiedenen Würfen erzielt wurden. Das Problem reicht mindestens bis Galilei zurück und ist eines, mit dem sich alle Wissenschaftler des 17. und 18. Jahrhunderts mehr oder weniger stark auseinandergesetzt haben. Es ist tatsächlich eines der anspruchsvollsten Probleme der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung. Aus Anlass dieses Problems formulierten Nicolaus Bernoulli und Montmort die Siebformel (oder das Prinzip von Einschluss-Ausschluss), eine der Gründungstheorien der Kombinatorik.

Wie gesagt, das allgemeine Punktproblem wurde Anfang des 18. Jahrhunderts von den Geometern vollständig gelöst und dann von Simpson wieder aufgegriffen und an die frühe probabilistische Beobachtungstheorie angepasst. Im letzten Teil seiner Memoiren beginnt Lagrange damit, die Ergebnisse von de Moivre und Simpson mit der gleichen Methode, der Generierung von Funktionen, neu zu finden, aber seine außergewöhnliche algebraische Kraft ermöglichte es ihm, weiter und schneller zu gehen. Über das, was Lagrange dank eines algebraischen Lemmas (Nr. 23) besonders elegant macht, wollen wir hier nichts sagen, außer dass es zu den alternativen Formeln von Montmort-Nicolas Bernoulli-de Moivre-Simpson-Lagrange-Laplace usw. führte.

Wir haben bereits bemerkt, dass Lagrange bei dieser Gelegenheit eine Beobachtungstheorie einführte, dh in die stochastische Analysis die „Laplace-Transformationen“, ein Begriff, der insbesondere von Euler bereits in der Theorie der Differentialgleichungen verwendet wurde. Hier findet es jedoch ein wichtiges Anwendungsgebiet und neue Eigenschaften, wie wir sehen werden.

Mit Hilfe dieser Vorstellung machte sich Lagrange an Problem X (Nr. 40):

Angenommen que chaque Beobachtung soit sujette à toutes les erreurs Possibles umfasst entre ces deux limites p et –q, et que la facilité de chaque erreur x, c'est-à-dire le nombre des cas où elle peut avoir lieu divisé par le nombre total des cas, soit représentée par une fonction quelconque de x désignée par y on demande la probabilité que l'erreur moyenne de n Beobachtungen soit umfassen entre les limites r et - s.

(Angenommen, jede Beobachtung unterliegt allen möglichen Fehlern, die innerhalb der beiden Grenzen liegen p und -q, und dass die Einrichtung jedes Fehlers x, d. h. die Zahl der Fälle, die durch die Gesamtzahl der Fälle dividiert werden kann, wird durch eine beliebige Funktion von represented dargestellt x bezeichnet von ja. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der mittlere Fehler von n Beobachtungen zwischen zwei Werten liegt? r und - so?).

Lassen ja sei die Einrichtung von x, seine Wahrscheinlichkeitsdichte. Lagrange verknüpfte es mit der Transformation .ja x dx, die er nie benennt, die Laplace aber allgemein als seine „Erzeugungsfunktion“ bezeichnete [[21], Buch I].

Maintenant pour avoir la probabilité que l’erreur moyenne de n Beobachtungen soit z, il faudra considérer le polynome qui est représenter par l’intégrale de ya x dx, en supposant cette intégrale prize de manière qu’elle s’étende depuis x = p jusqu’à x = −q, l'on élèvera ce polynôme à la puissance n, et l'on cherchera le Koeffizient de puissance z de a, par les règles données dans les corollaires du lemme précédent (n° 33) ce-Koeffizient, quifon sera un une z exprimera la probabilité que l'erreur moyenne soit z, comme il est facile de voir, d'après ce qui a été démontré plus haut.

(Um nun die Wahrscheinlichkeit zu haben, dass der mittlere Fehler von nein Beobachtungen ist z, ist es notwendig, das Polynom zu betrachten, das durch das Integral von represented dargestellt wird ja x dx, und nehmen an, dass das Integral so genommen wird, dass es sich von erstreckt x = p zu x = −q wir potenzieren dieses Polynom n, und suche den Koeffizienten z von ein, nach den Regeln, die im Korollar zum vorherigen Lemma (Nr. 33) angegeben sind, der Koeffizient, der eine Funktion von ist z, drückt die Wahrscheinlichkeit aus, dass der mittlere Fehler z, wie man nach dem oben Gezeigten leicht erkennen kann).

Dieses Zitat, wörtlich aus dem Text von Nr. 40, gibt eine grundlegende Eigenschaft der Generierung von Funktionen an, die „Laplace-Transformationen“, bemerkenswert von Lagrange. Es verwandelt Faltungen in Produkte. Weder Lagrange noch Laplace liefern einen Beweis, der ihn seinerseits im Fall der „Fourier“ genannten Transformationen verwenden würde. Es ist „einfach“ zu sehen, und das reicht. Es ist offensichtlich an die Methode von de Moivre gebunden, die ihm die wahre Dimension verleiht. So geschrieben

der Koeffizient Ja(z) der Macht ein z ist die Anlage in z der Summe von nein Beobachtungen der Einrichtung ja. In allen Fällen geht es darum, die Funktion von zu schreiben ein, f(ein) = (∫ja x dx) nein , in Form einer Laplace-Transformation ∫Ja z dz.

Dieses schillernde Kalkül von Lagrange machte einen großen Eindruck auf den jungen Laplace, der, obwohl er Lagranges Methode „schön“ nannte, sich sofort daran machte, sie durch seine Faltungsmethode erneut zu beweisen. Fußnote 4

Lagrange befasste sich mit anderen Fällen. Hier darauf einzugehen, würde zu weit führen, zumal die erhaltenen Alternativformeln recht schnell unhandlich werden, wenn zum Beispiel nein 10 überschreitet, und die Suche nach einem Äquivalent, wenn nein sehr groß ist, ist in dieser Formulierung unmöglich.

Das von Lagrange offengelassene Problem beschäftigte Laplace fast vierzig Jahre lang. Seine Lösung wurde 1810 veröffentlicht und ihre Anwendungen, insbesondere die Methode der kleinsten Quadrate von Legendre und Gauß, bildeten den Höhepunkt der „analytischen Wahrscheinlichkeitstheorie“. Die Idee von Laplace ist dennoch sehr einfach, es reicht, sie zu platzieren ein = e es , d. h. um die Lagrange-(Laplace)-Transformation der Einrichtung zu ersetzen ja

mit seiner Laplace (Fourier)-Transformation

Die Inversion erfolgt ganz einfach analog zur Inversion der Fourier-Reihe.Damit führt Laplace heimlich den von Lagrange verbannten Übergang von endlich zu unendlich klein wieder ein, und seine Methode würde lange darunter leiden, bis Fouriers Integraltheorie ein grundlegendes Kapitel der modernen Funktionentheorie wurde (ohne den Übergang von endlich bis unendlich, aber mit der verallgemeinerten Einführung des Begriffs von fast überall, was Lagrange zweifellos missfallen hätte, aber Laplace vervollständigte). Aber das ist eine andere Geschichte.

Kommen wir nun zum zweiten Teil von Lagranges Memoiren, dem einzigen Beitrag unseres Faches zur mathematischen Statistik, das heißt zu der Statistik, die von der Wahrscheinlichkeitsrechnung beherrscht wird.


Inhalt

Die Gesetze von Johannes Kepler verbesserten das Modell des Kopernikus. Nimmt man die Exzentrizitäten der Planetenbahnen mit Null, so stimmte Kepler im Grunde mit Kopernikus überein:

  1. Die Planetenbahn ist ein Kreis mit Epizykeln.
  2. Die Sonne steht ungefähr im Zentrum der Umlaufbahn.
  3. Die Geschwindigkeit des Planeten in der Hauptumlaufbahn ist konstant.

Die Exzentrizitäten der Umlaufbahnen dieser Planeten, die Copernicus und Kepler bekannt sind, sind klein, so dass die vorstehenden Regeln gute Annäherungen an die Planetenbewegung liefern, aber die Gesetze von Kepler passen besser zu den Beobachtungen als das von Copernicus vorgeschlagene Modell. Keplers Korrekturen sind:

  1. Die Planetenbahn ist nicht ein Kreis mit Epizykeln, aber ein Ellipse.
  2. Die Sonne ist nicht in der Nähe des Zentrums, aber bei a Mittelpunkt der elliptischen Bahn.
  3. Weder die Lineargeschwindigkeit noch die Winkelgeschwindigkeit des Planeten in der Umlaufbahn ist konstant, aber die Flächengeschwindigkeit (historisch eng mit dem Konzept des Drehimpulses verbunden) konstant ist.

Die Exzentrizität der Erdumlaufbahn macht die Zeit von der Tagundnachtgleiche im März bis zur Tagundnachtgleiche im September etwa 186 Tage, ungleich der Zeit von der Tagundnachtgleiche im September bis zur März-Tagundnachtgleiche, etwa 179 Tage. Ein Durchmesser würde die Umlaufbahn in gleiche Teile schneiden, aber die Ebene durch die Sonne parallel zum Äquator der Erde schneidet die Umlaufbahn in zwei Teile mit Flächen in einem Verhältnis von 186 zu 179, so dass die Exzentrizität der Erdumlaufbahn ungefähr beträgt

was nahe am korrekten Wert liegt (0.016710218). Die Genauigkeit dieser Berechnung erfordert, dass die beiden ausgewählten Daten entlang der Nebenachse der elliptischen Umlaufbahn liegen und die Mittelpunkte jeder Hälfte entlang der Hauptachse liegen. Da es sich bei den beiden hier gewählten Daten um Tagundnachtgleichen handelt, ist dies richtig, wenn das Perihel, das Datum, an dem die Erde der Sonne am nächsten ist, auf eine Sonnenwende fällt. Das aktuelle Perihel, nahe dem 4. Januar, ist ziemlich nahe an der Sonnenwende am 21. oder 22. Dezember.

Es dauerte fast zwei Jahrhunderte, bis die heutige Formulierung von Keplers Werk seine feste Form angenommen hatte. Voltaires Elemente der Philosophie von Newton (Elemente der Newtonschen Philosophie) von 1738 war die erste Veröffentlichung, die die Terminologie von "Gesetzen" verwendet. [1] [2] Die Biographische Enzyklopädie der Astronomen stellt in seinem Artikel über Kepler (S. 620) fest, dass die Terminologie der wissenschaftlichen Gesetze für diese Entdeckungen mindestens seit der Zeit von Joseph de Lalande aktuell war. [3] Es war die Ausstellung von Robert Small, in Ein Bericht über die astronomischen Entdeckungen von Kepler (1814), die die Menge der drei Gesetze ausmachte, indem sie das dritte hinzufügten. [4] Small behauptete auch gegen die Geschichte, dass dies empirische Gesetze seien, die auf induktivem Denken beruhten. [2] [5]

Darüber hinaus ist die derzeitige Verwendung von "Kepler's Second Law" eine Fehlbezeichnung. Bei Kepler gab es zwei qualitativ verwandte Versionen: das "Entfernungsgesetz" und das "Flächengesetz". Das "Flächengesetz" ist das, was in der Dreiergruppe zum zweiten Hauptsatz wurde, aber Kepler selbst hat es nicht so privilegiert. [6]

Kepler veröffentlichte 1609 seine ersten beiden Gesetze über die Planetenbewegung, [7] nachdem er sie durch die Analyse der astronomischen Beobachtungen von Tycho Brahe gefunden hatte. [8] [9] [10] Keplers drittes Gesetz wurde 1619 veröffentlicht. [11] [9] Kepler hatte an das kopernikanische Modell des Sonnensystems geglaubt, das kreisförmige Bahnen forderte, aber er konnte Brahes hochpräzise Beobachtungen nicht in Einklang bringen mit einer kreisförmigen Anpassung an die Umlaufbahn des Mars – Mars hat zufällig die höchste Exzentrizität aller Planeten außer Merkur. [12] Sein erstes Gesetz spiegelte diese Entdeckung wider.

1621 stellte Kepler fest, dass sein drittes Gesetz für die vier hellsten Monde des Jupiter gilt. [Nb 1] Auch Godefroy Wendelin machte 1643 diese Beobachtung. [Nb 2] Der zweite Hauptsatz in der Form des "Flächengesetzes" wurde von Nicolaus Mercator in einem Buch von 1664 bestritten, aber 1670 sein Philosophische Transaktionen waren zu seinen Gunsten. Im Laufe des Jahrhunderts wurde es immer mehr akzeptiert. [13] Die Rezeption in Deutschland änderte sich merklich zwischen 1688, dem Jahr, in dem Newtons Principia veröffentlicht wurde und im Wesentlichen als kopernikanisch angesehen wurde, und 1690, zu dieser Zeit waren Arbeiten von Gottfried Leibniz über Kepler veröffentlicht worden. [14]

Newton wurde das Verständnis zugeschrieben, dass das zweite Gesetz nichts Besonderes für das inverse quadratische Gesetz der Gravitation ist, da es nur eine Folge der radialen Natur dieses Gesetzes ist, während die anderen Gesetze von der inversen quadratischen Form der Anziehung abhängen. Carl Runge und Wilhelm Lenz identifizierten viel später im Phasenraum der Planetenbewegung ein Symmetrieprinzip (die orthogonale Gruppe O(4) wirkt), das bei der Newtonschen Gravitation den ersten und dritten Hauptsatz erklärt, wie die Drehimpulserhaltung über Rotationssymmetrie für den zweiten Hauptsatz. [fünfzehn]

Das mathematische Modell der den Gesetzen unterworfenen Kinematik eines Planeten erlaubt eine Vielzahl weiterer Berechnungen.

Erstes Gesetz Bearbeiten

Die Umlaufbahn jedes Planeten ist eine Ellipse mit der Sonne in einem der beiden Brennpunkte.

Mathematisch kann eine Ellipse durch die Formel dargestellt werden:

wobei p das Semilatus Rektum ist, ε ist die Exzentrizität der Ellipse, r ist die Entfernung von der Sonne zum Planeten, und θ ist der Winkel zur aktuellen Position des Planeten von seiner nächsten Annäherung, von der Sonne aus gesehen. So (r, θ) sind Polarkoordinaten.

Für eine Ellipse 0 < ε < 1 im Grenzfall ε = 0, die Umlaufbahn ist ein Kreis mit der Sonne im Mittelpunkt (d. h. wo es keine Exzentrizität gibt).

Beim θ = 0°, Perihel, der Abstand ist minimal

Beim θ = 90° und at θ = 270° ist der Abstand gleich p .

Beim θ = 180°, Aphel, der Abstand ist maximal (per Definition ist Aphel – ausnahmslos – Perihel plus 180°)

Die große Halbachse ein ist das arithmetische Mittel zwischen rMindest und rmax:

Die kleine Halbachse b ist das geometrische Mittel zwischen rMindest und rmax:

Das Semilatus Rektum p ist das harmonische Mittel zwischen rMindest und rmax:

Die Exzentrizität ε ist der Variationskoeffizient zwischen rMindest und rmax:

Der Spezialfall eines Kreises ist ε = 0, was zu r = p = rMindest = rmax = ein = b und EIN = r 2 .

Zweites Gesetz Bearbeiten

Eine Linie, die einen Planeten und die Sonne verbindet, überstreicht in gleichen Zeitintervallen gleiche Flächen. [16]

Der Bahnradius und die Winkelgeschwindigkeit des Planeten auf der elliptischen Umlaufbahn werden variieren. Dies wird in der Animation gezeigt: Der Planet bewegt sich schneller, wenn er näher an der Sonne ist, dann langsamer, wenn er weiter von der Sonne entfernt ist. Das zweite Keplersche Gesetz besagt, dass der blaue Sektor eine konstante Fläche hat.

und die mittlere Bewegung des Planeten um die Sonne

Drittes Gesetz Bearbeiten

Das Verhältnis des Quadrats der Umlaufperiode eines Objekts zum Kubus der großen Halbachse seiner Umlaufbahn ist für alle Objekte, die dieselbe Primärachse umkreisen, gleich.

Dies erfasst die Beziehung zwischen der Entfernung der Planeten von der Sonne und ihren Umlaufzeiten.

Kepler formulierte 1619 [11] dieses dritte Gesetz in einem mühsamen Versuch, die aus seiner Sicht "Sphärenmusik" nach genauen Gesetzmäßigkeiten zu bestimmen und in musikalischer Notation auszudrücken. [17] Es wurde daher als . bekannt harmonisches Gesetz. [18]

Mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz (veröffentlicht 1687) kann dieser Zusammenhang im Fall einer Kreisbahn gefunden werden, indem man die Zentripetalkraft gleich der Gravitationskraft setzt:

Wenn wir dann die Winkelgeschwindigkeit in Bezug auf die Umlaufperiode ausdrücken und dann neu anordnen, finden wir das dritte Keplersche Gesetz:

Die folgende Tabelle zeigt die Daten, die Kepler verwendet hat, um sein Gesetz empirisch abzuleiten:

Von Kepler (1618) verwendete Daten
Planet Mittlere Entfernung
zur Sonne (AU)
Zeitraum
(Tage)
R 3 T 2 < extstyle >>>> (10 -6 AU 3 /Tag 2 )
Merkur 0.389 87.77 7.64
Venus 0.724 224.70 7.52
Erde 1 365.25 7.50
Mars 1.524 686.95 7.50
Jupiter 5.20 4332.62 7.49
Saturn 9.510 10759.2 7.43

Als Kepler dieses Muster fand, schrieb er: [19]

Ich glaubte zuerst, ich träume. Aber es ist absolut sicher und genau, dass das Verhältnis, das zwischen den Periodenzeiten zweier Planeten besteht, genau das Verhältnis der 3/2-ten Potenz der mittleren Entfernung ist.

Zum Vergleich hier moderne Schätzungen:

Moderne Daten (Wolfram Alpha Knowledgebase 2018)
Planet Große Halbachse (AU) Zeitraum (Tage) R 3 T 2 < extstyle >>>> (10 -6 AU 3 /Tag 2 )
Merkur 0.38710 87.9693 7.496
Venus 0.72333 224.7008 7.496
Erde 1 365.2564 7.496
Mars 1.52366 686.9796 7.495
Jupiter 5.20336 4332.8201 7.504
Saturn 9.53707 10775.599 7.498
Uranus 19.1913 30687.153 7.506
Neptun 30.0690 60190.03 7.504

Isaac Newton hat in seinem . berechnet Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica die Beschleunigung eines Planeten, der sich nach dem ersten und zweiten Gesetz von Kepler bewegt.

  1. Das Richtung der Beschleunigung geht zur Sonne.
  2. Das Größe der Beschleunigung ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands des Planeten von der Sonne (der inverses quadratisches Gesetz).

Dies impliziert, dass die Sonne die physikalische Ursache für die Beschleunigung von Planeten sein könnte. Newton stellt jedoch in seinem Principia dass er Kräfte aus mathematischer Sicht betrachtet, nicht aus physikalischer Sicht, und nimmt dabei eine instrumentalistische Sichtweise ein. [20] Außerdem ordnet er der Schwerkraft keine Ursache zu. [21]

Newton definierte die auf einen Planeten wirkende Kraft als Produkt seiner Masse und der Beschleunigung (siehe Newtons Bewegungsgesetze). So:

  1. Jeder Planet wird von der Sonne angezogen.
  2. Die auf einen Planeten wirkende Kraft ist direkt proportional zur Masse des Planeten und umgekehrt proportional zum Quadrat seiner Entfernung von der Sonne.

Die Sonne spielt eine unsymmetrische Rolle, die nicht gerechtfertigt ist. Also nahm er im Newtonschen Gesetz der universellen Gravitation an:

  1. Alle Körper im Sonnensystem ziehen sich an.
  2. Die Kraft zwischen zwei Körpern ist direkt proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen.

Da die Planeten im Vergleich zur Sonne geringe Massen haben, entsprechen die Bahnen ungefähr den Keplerschen Gesetzen. Das Newton-Modell verbessert das Kepler-Modell und passt die tatsächlichen Beobachtungen genauer an. (Siehe Zweikörperproblem.)

Unten folgt die detaillierte Berechnung der Beschleunigung eines Planeten, der sich nach dem ersten und zweiten Gesetz von Kepler bewegt.

Beschleunigungsvektor Bearbeiten

Differenzieren Sie den Positionsvektor zweimal, um den Geschwindigkeitsvektor und den Beschleunigungsvektor zu erhalten:

bei dem die Radialbeschleunigung ist

und der Querbeschleunigung ist

Inverses quadratisches Gesetz Bearbeiten

Das zweite Keplersche Gesetz besagt das

Die Beschleunigung eines Planeten, der dem zweiten Keplerschen Gesetz gehorcht, ist also auf die Sonne gerichtet.

Das erste Keplersche Gesetz besagt, dass die Umlaufbahn durch die Gleichung beschrieben wird:

Differenzierung nach Zeit

Noch einmal differenzieren

Einsetzen der Ellipsengleichung ergibt

Das inverse quadratische Gesetz ist eine Differentialgleichung. Die Lösungen dieser Differentialgleichung beinhalten die Keplerschen Bewegungen, wie gezeigt, aber sie beinhalten auch Bewegungen, bei denen die Umlaufbahn eine Hyperbel oder Parabel oder eine gerade Linie ist. (Siehe Kepler-Bahn.)

Newtons Gravitationsgesetz Bearbeiten

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die Gravitationskraft, die auf den Planeten wirkt:

wobei m Planet >> ist die Masse des Planeten und α hat für alle Planeten im Sonnensystem den gleichen Wert. Nach dem dritten Newtonschen Gesetz wird die Sonne von einer gleich großen Kraft vom Planeten angezogen. Da die Kraft proportional zur Masse des Planeten ist, sollte sie unter symmetrischer Betrachtung auch proportional zur Masse der Sonne sein, m Sonne >> . So

Die Beschleunigung der Körperzahl des Sonnensystems ich ist nach den Newtonschen Gesetzen:

In dem Sonderfall, in dem es nur zwei Körper im Sonnensystem gibt, Erde und Sonne, wird die Beschleunigung zu

das ist die Beschleunigung der Kepler-Bewegung. Diese Erde bewegt sich also nach den Keplerschen Gesetzen um die Sonne.

Wenn die beiden Körper im Sonnensystem Mond und Erde sind, wird die Beschleunigung des Mondes

In dieser Näherung bewegt sich der Mond also nach den Keplerschen Gesetzen um die Erde.

Im Dreikörperfall sind die Beschleunigungen

Diese Beschleunigungen sind nicht die von Kepler-Bahnen, und das Dreikörperproblem ist kompliziert. Aber die Keplersche Näherung ist die Grundlage für Störungsrechnungen. (Siehe Mondtheorie.)

Kepler verwendete seine beiden ersten Gesetze, um die Position eines Planeten als Funktion der Zeit zu berechnen. Seine Methode beinhaltet die Lösung einer transzendenten Gleichung namens Kepler-Gleichung.

Das Verfahren zur Berechnung der heliozentrischen Polarkoordinaten (r,θ) eines Planeten als Funktion der Zeit t seit Perihel sind die folgenden fünf Schritte:

  1. Berechnen Sie die bedeuten Bewegungnein = (2 π Bogenmaß)/P, wo P ist die Periode.
  2. Berechnen Sie die bedeuten AnomalieM = nicht, wo t ist die Zeit seit Perilhelion.
  3. Berechnen Sie die exzentrische AnomalieE durch Lösen der Keplerschen Gleichung: M = E − ε sin ⁡ E , wobei ε die Exzentrizität ist.
  4. Berechnen Sie die wahre Anomalieθ durch Lösen der Gleichung: ( 1 − ε ) tan 2 ⁡ θ 2 = ( 1 + ε ) tan 2 ⁡ E 2 <2 >>=(1+varepsilon) an^<2><2>>>
  5. Berechnen Sie die heliozentrischer Abstandr: r = a ( 1 − ε cos ⁡ E ) , wobei a die große Halbachse ist.

Der wichtige Sonderfall der Kreisbahn, ε = 0, ergibt θ = E = M. Da die gleichförmige Kreisbewegung als normal, eine Abweichung von dieser Bewegung wurde als Anomalie.

Der Beweis für dieses Verfahren ist unten gezeigt.

Mittlere Anomalie, M Bearbeiten

Das Keplersche Problem geht von einer elliptischen Bahn und den vier Punkten aus:

so die Sonne (an einem Brennpunkt der Ellipse) z das perihel c das Zentrum der Ellipse p der Planet

Das Problem besteht darin, die Polarkoordinaten (r,θ) des Planeten von der Zeit seit Perihel, t.

Es wird in Schritten gelöst. Kepler betrachtete den Kreis mit der Hauptachse als Durchmesser, und

Die Sektorbereiche werden durch | z s p | = b a ⋅ | z s x | . >cdot |zsx|.>

Das seit dem Perihel gefegte Gebiet,

ist nach dem zweiten Keplerschen Gesetz proportional zur Zeit seit dem Perihel. Also die mittlere Anomalie, M, ist proportional zur Zeit seit Perihel, t.

Exzentrische Anomalie, E Bearbeiten

Wenn die mittlere Anomalie M berechnet wird, ist das Ziel, die wahre Anomalie zu berechnen θ. Die Funktion θ = f(M) ist jedoch nicht elementar. [23] Keplers Lösung ist die Verwendung von

als Zwischenvariable und berechne zuerst E als Funktion von M indem Sie die untenstehende Kepler-Gleichung lösen und dann die wahre Anomalie berechnen θ von der exzentrischen Anomalie E. Hier sind die Details.

Division durch ein 2 /2 gibt Keplersche Gleichung

Diese Gleichung gibt M als Funktion von E. Bestimmung E für ein gegebenes M ist das inverse Problem. Iterative numerische Algorithmen werden häufig verwendet.

Nach Berechnung der exzentrischen Anomalie E, ist der nächste Schritt die wahre Anomalie zu berechnen θ.

Beachten Sie jedoch: Kartesische Positionskoordinaten in Bezug auf den Mittelpunkt der Ellipse sind (ein cos E, b Sünde E)

In Bezug auf die Sonne (mit Koordinaten (c,0) = (ae,0) ), r = (ein cos Eae, b Sünde E)

Wahre Anomalie wäre arctan(rja/rx), in der Größenordnung von r wäre r · r .

Wahre Anomalie, θ Bearbeiten

Beachten Sie aus der Abbildung, dass

Das Ergebnis ist eine brauchbare Beziehung zwischen der exzentrischen Anomalie E und die wahre Anomalie θ.

Eine rechnerisch bequemere Form folgt durch Einsetzen in die trigonometrische Identität:

Multiplizieren mit 1 + ε gibt das Ergebnis

Dies ist der dritte Schritt in der Verbindung zwischen Zeit und Position in der Umlaufbahn.

Entfernung, r Bearbeiten

Der vierte Schritt besteht darin, den heliozentrischen Abstand zu berechnen r von der wahren Anomalie θ nach dem ersten Keplerschen Gesetz:

Verwenden der obigen Beziehung zwischen θ und E die endgültige Gleichung für die Entfernung r ist:


Bestimmung der Fläche von Lagrange Points - Astronomie

Im vorherigen Abschnitt haben wir optimiert (d.h. fand die absoluten Extrema) eine Funktion auf einem Gebiet, das seine Grenze enthielt. Potenzielle optimale Punkte im Inneren der Region zu finden ist im Allgemeinen nicht schlecht, wir mussten nur die kritischen Punkte finden und in die Funktion einbinden. Wie wir jedoch in den Beispielen gesehen haben, war das Finden potenzieller optimaler Punkte an der Grenze oft ein ziemlich langer und chaotischer Prozess.

In diesem Abschnitt werfen wir einen Blick auf eine andere Möglichkeit, eine Funktion unter bestimmten Randbedingungen zu optimieren. Die Einschränkung(en) können die Gleichung(en) sein, die die Grenze einer Region beschreiben, obwohl wir uns in diesem Abschnitt nicht auf diese Arten von Problemen konzentrieren, da diese Methode nur eine allgemeine Einschränkung erfordert und es nicht wirklich darauf ankommt, wo die Einschränkung kam aus.

Also, lass uns die Dinge einrichten. Wir wollen optimieren (d.h. finde den minimalen und maximalen Wert von) einer Funktion, (fleft( ight)), vorbehaltlich der Einschränkung (gleft( echts) = k).Auch hier kann die Einschränkung die Gleichung sein, die die Grenze einer Region beschreibt, oder auch nicht. Der Prozess ist eigentlich ziemlich einfach, obwohl die Arbeit manchmal immer noch ein wenig überwältigend sein kann.

Methode der Lagrange-Multiplikatoren

  1. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem. [Start abla flinks( ight) & = lambda ,, abla gleft( echts) glinks( ight) & = kend]
  2. Setze alle Lösungen ein, (left( ight)), vom ersten Schritt in (fleft( ight)) und identifizieren Sie die minimalen und maximalen Werte, sofern sie existieren und ( abla g e vec<0>) an der Stelle.

Die Konstante (lambda) heißt Lagrange-Multiplikator.

Beachten Sie, dass das Gleichungssystem der Methode tatsächlich vier Gleichungen hat, wir haben das System nur in einer einfacheren Form geschrieben. Um dies zu sehen, nehmen wir die erste Gleichung und geben die Definition des Gradientenvektors ein, um zu sehen, was wir erhalten.

[linkslangle <,,> ight angle = lambda leftlangle <,,> ight angle = leftlangle ,lambda ,lambda > echts angle]

Damit diese beiden Vektoren gleich sind, müssen auch die einzelnen Komponenten gleich sein. Wir haben hier also tatsächlich drei Gleichungen.

Diese drei Gleichungen zusammen mit der Einschränkung (gleft( ight) = c), geben Sie vier Gleichungen mit vier Unbekannten (x), (y), (z) und (lambda) an.

Beachten Sie auch, dass wir, wenn wir nur Funktionen von zwei Variablen haben, die dritte Komponente des Gradienten nicht haben und daher nur drei Gleichungen in drei Unbekannten (x), (y) und ( Lambda).

Als letzte Anmerkung müssen wir auch darauf achten, dass in einigen Fällen Minima und Maxima nicht existieren, obwohl die Methode dies zu implizieren scheint. Bei jedem Problem müssen wir sicherstellen, dass Mindest- und Höchstwerte vorhanden sind, bevor wir mit dem Problem beginnen.

Um eine physikalische Begründung für die obigen Formeln zu sehen. Betrachten wir den minimalen und maximalen Wert von (fleft( echts) = 8 - 2y) unter der Bedingung ( + = 1). In den Übungsaufgaben für diesen Abschnitt (Problem #2 um genau zu sein) werden wir zeigen, dass der minimale Wert von (fleft( ight)) ist -2, was bei (left( <0,1> ight)) auftritt und der Maximalwert von (fleft( ight)) ist 8,125, was bei (left( < - frac<<3sqrt 7 >><8>, - frac<1><8>> ight)) und ( left( ><8>, - frac<1><8>> ight)).

Hier ist eine Skizze der Einschränkung sowie (fleft( ight) = k) für verschiedene Werte von (k).

Denken Sie zunächst daran, dass Lösungen des Systems irgendwo auf dem Graphen der Einschränkung liegen müssen, ( + = 1) in diesem Fall. Weil wir den minimalen/maximalen Wert von (fleft( ight)) bedeutet dies wiederum, dass die Position des minimalen/maximalen Wertes von (fleft( Recht)), d.h. der Punkt (links( ight)), muss dort auftreten, wo der Graph von (fleft( ight) = k) schneidet den Graphen der Einschränkung, wenn (k) entweder der minimale oder maximale Wert von (fleft( Recht)).

Nun sehen wir, dass der Graph von (fleft( echts) = - 2), d.h. der Graph des Minimalwertes von (fleft( ight)), berührt nur den Graphen der Einschränkung bei (left( <0,1> ight)). Tatsächlich sind die beiden Graphen an diesem Punkt tangential.

Wenn die beiden Graphen an diesem Punkt tangential sind, müssen ihre Normalenvektoren parallel sein, d.h. die beiden Normalenvektoren müssen skalare Vielfache voneinander sein. Mathematisch bedeutet dies,

[ abla fleft( ight) = lambda ,, abla gleft( Recht)]

für einen Skalar (lambda) und dies ist genau die erste Gleichung im System, die wir in der Methode lösen müssen.

Beachten Sie auch, dass wenn (k) kleiner als der Minimalwert von (fleft( ight)) der Graph von (fleft( ight) = k) schneidet den Graphen der Einschränkung nicht und daher ist es der Funktion nicht möglich, diesen Wert von (k) an einem Punkt anzunehmen, der die Einschränkung erfüllt.

Ebenso, wenn (k) größer als der Minimalwert von (fleft( ight)) der Graph von (fleft( ight) = k) schneidet den Graphen der Einschränkung, aber die beiden Graphen sind an den Schnittpunkten nicht tangential. Dies bedeutet, dass die Methode diese Schnittpunkte nicht findet, wenn wir das Gleichungssystem lösen.

Als nächstes zeigt das Diagramm unten einen anderen Satz von Werten von (k). In diesem Fall beinhalten die Werte von (k) den Maximalwert von (fleft( ight)) sowie einige Werte auf beiden Seiten des Maximalwerts.

Wieder sehen wir, dass der Graph von (fleft( ight) = 8,125) berührt nur den Graphen der Einschränkung an zwei Punkten. Dies ist eine gute Sache, da wir wissen, dass die Lösung besagt, dass es an zwei Punkten auftreten sollte. Beachten Sie auch, dass an diesen Stellen wieder der Graph von (fleft( ight) = 8,125)und die Randbedingung ist tangential, so dass die Normalenvektoren wie bei den Minimalwerten an diesen Punkten parallel sein müssen.

Ebenso ist für einen Wert von (k) größer als 8,125 der Graph von (fleft( ight) = k) schneidet den Graphen der Einschränkung nicht und ist daher für (fleft( ight)), um diese größeren Werte an Punkten anzunehmen, die auf der Einschränkung liegen.

Auch für Werte von (k) kleiner als 8,125 ist der Graph von (fleft( ight) = k) schneidet zwar den Graphen der Einschränkung, ist aber an den Schnittpunkten nicht tangential, so dass die Methode diese Schnittpunkte beim Lösen des Gleichungssystems wiederum nicht erzeugt.

Mit diesen Graphen haben wir also gesehen, dass die minimalen/maximalen Werte von (fleft( ight)) kommt, wo der Graph von (fleft( ight) = k) und der Graph der Nebenbedingung tangential sind, also sind ihre Normalenvektoren parallel. Auch, weil der Punkt auf der Einschränkung selbst auftreten muss. Mit anderen Worten, das Gleichungssystem, das wir lösen müssen, um den minimalen/maximalen Wert von (fleft( ight)) sind genau die, die oben bei der Einführung der Methode angegeben wurden.

Beachten Sie, dass die obige physikalische Begründung für ein zweidimensionales System durchgeführt wurde, aber die gleiche Begründung kann in höheren Dimensionen durchgeführt werden. Der Unterschied besteht darin, dass wir in höheren Dimensionen nicht mit Kurven arbeiten. In drei Dimensionen würden wir zum Beispiel mit Oberflächen arbeiten. Die gleichen Ideen werden jedoch weiterhin Bestand haben. An den Punkten, die den minimalen und maximalen Wert(e) ergeben, wären die Flächen parallel und somit wären auch die Normalenvektoren parallel.

Arbeiten wir ein paar Beispiele.

Bevor wir den Prozess hier beginnen, beachten Sie, dass wir auch in Infinitesimalrechnung I einen Weg gesehen haben, diese Art von Problem zu lösen, außer dass wir bei diesen Problemen eine Bedingung benötigten, die eine der Seiten der Box mit den anderen Seiten verknüpfte, damit wir nach unten kommen konnten zu einer Volumen- und Oberflächenfunktion, die nur zwei Variablen umfasst. Wir brauchen diese Bedingung für diese Probleme nicht mehr.

Kommen wir nun zur Lösung des Problems. Zuerst müssen wir die Funktion, die wir optimieren werden, sowie die Einschränkung identifizieren. Lassen Sie uns die Länge der Box auf (x), die Breite der Box auf (y) und die Höhe der Box auf (z) setzen. Beachten wir auch, dass, da wir es mit den Dimensionen einer Box zu tun haben, mit Sicherheit davon ausgegangen werden kann, dass (x), (y) und (z) alle positive Größen sind.

Wir wollen das größte Volumen finden und so ist die Funktion, die wir optimieren wollen, gegeben durch

Als nächstes wissen wir, dass die Oberfläche der Box konstant 64 sein muss. Dies ist also die Einschränkung. Die Oberfläche einer Box ist einfach die Summe der Flächen jeder der Seiten, daher ist die Einschränkung gegeben durch:

[2xy + 2xz + 2yz = 64hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>xy + xz + yz = 32]

Beachten Sie, dass wir die Einschränkung durch 2 geteilt haben, um die Gleichung ein wenig zu vereinfachen. Außerdem erhalten wir die Funktion (gleft( ight)) davon.

Die Funktion selbst, (fleft( ight) = xyz) wird eindeutig weder Minima noch Maxima haben, es sei denn, wir schränken die Variablen ein. Die einzige wirkliche Einschränkung, die wir haben, ist, dass alle Variablen positiv sein müssen. Dies bedeutet natürlich sofort, dass die Funktion ein Minimum hat, Null, obwohl dies ein dummer Wert ist, da es auch bedeutet, dass wir so gut wie keine Box haben. Es bedeutet jedoch, dass wir das Minimum von (fleft( ight)) existiert.

Sehen wir uns nun an, ob (fleft( ight)) hat ein Maximum. Offensichtlich, hoffentlich, (fleft( ight)) hat kein Maximum, wenn alle Variablen unbegrenzt ansteigen dürfen. Dies kann jedoch aufgrund der Einschränkung nicht passieren,

Hier haben wir die Summe von drei positiven Zahlen (denken Sie daran, dass wir (x), (y) und (z) positiv sind, weil wir mit einer Box arbeiten) und die Summe muss 32 betragen. Wenn also eine der Variablen sehr groß wird, sagen wir (x), dann müssen, da jedes der Produkte kleiner als 32 sein muss, sowohl (y) als auch (z) sehr klein sein, um sicherzustellen, dass das erste zwei Terme sind kleiner als 32. Es gibt also keine Möglichkeit für alle Variablen unbegrenzt zu wachsen und daher sollte es sinnvoll sein, dass die Funktion (fleft( ight) = xyz), hat ein Maximum.

Dies ist kein exakter Beweis dafür, dass (fleft( ight)) hat ein Maximum, aber es sollte helfen, sich vorzustellen, dass (fleft( ight)) sollte einen maximalen Wert haben, solange er der Einschränkung unterliegt.

Hier sind die vier Gleichungen, die wir lösen müssen.

Es gibt viele Möglichkeiten, dieses System zu lösen. Wir werden es wie folgt lösen. Wir multiplizieren die Gleichung (eqref) nach (x), Gleichung (eqref) nach (y) und Gleichung (eqref) um (z). Das gibt,

Beachten Sie nun, dass wir Gleichungen (eqref) und (eqref) gleich. Dies gibt,

[Startlambda xlinks( ight) & = lambda yleft( ight) lambda left( ight) - lambda left( ight) &= 0 lambda left( ight) & = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>lambda = 0,,,,,,>,,,,,xz = yzend]

Dadurch ergaben sich zwei Möglichkeiten. Die erste, (lambda = 0) ist nicht möglich, da in diesem Fall die Gleichung (eqref) würde sich auf reduce reduzieren

Da wir über die Abmessungen einer Box sprechen, ist keines von beiden möglich, so dass wir (lambda = 0) abziehen können. Damit bleibt die zweite Möglichkeit.

Da wir wissen, dass (z e 0) (wiederum, da wir über die Abmessungen einer Box sprechen) können wir (z) von beiden Seiten aufheben. Das gibt,

Als nächstes stellen wir die Gleichungen (eqref) und (eqref) gleich. Dies gibt,

[Startlambda ylinks( ight) & = lambda zleft( ight) lambda left( ight) & = 0 lambda left( ight) & = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>lambda = 0,,,>,,,,yx = zxend]

Wie bereits besprochen wissen wir, dass (lambda = 0) nicht funktioniert und so bleibt,

Wir können auch (x e 0) sagen, da wir es mit den Abmessungen einer Box zu tun haben, also müssen wir haben,

Einsetzen von Gleichungen (eqref) und (eqref) in Gleichung (eqref) wir bekommen,

Wir wissen jedoch, dass (y) positiv sein muss, da wir über die Abmessungen einer Box sprechen. Daher ist hier die einzige physikalisch sinnvolle Lösung sense

Es sieht also so aus, als hätten wir einen Würfel.

Wir sollten hier ein wenig vorsichtig sein. Da wir nur eine Lösung haben, könnten wir versucht sein anzunehmen, dass dies die Dimensionen sind, die das größte Volumen ergeben. Jedes Mal, wenn wir eine einzelne Lösung erhalten, müssen wir wirklich überprüfen, ob es sich um ein Maximum (oder Minimum, wenn wir danach suchen) handelt.

Dies ist eigentlich ziemlich einfach zu tun. Beachten wir zunächst, dass das Volumen bei unserer obigen Lösung

Nun wissen wir, dass ein Maximum von (fleft( ight)) existiert („bewiesen“ das weiter oben in der Lösung) und um zu überprüfen, ob dies wirklich ein Maximum ist, müssen wir nur einen anderen Satz von Dimensionen finden, der unsere Einschränkung erfüllt, und das Volumen überprüfen. Wenn das Volumen dieses neuen Dimensionssatzes kleiner ist als das obige Volumen, dann wissen wir, dass unsere Lösung ein Maximum ergibt.

Wenn andererseits die neuen Dimensionen ein größeres Volumen ergeben, haben wir ein Problem. Wir haben nur eine einzige Lösung und wissen, dass ein Maximum existiert und die Methode dieses Maximum erzeugen sollte. In diesem Fall besteht das wahrscheinliche Problem darin, dass wir irgendwo einen Fehler gemacht haben und wir zurückgehen und ihn finden müssen.

Lassen Sie uns also einen neuen Satz von Abmessungen für die Box finden. Das einzige, worüber wir uns Sorgen machen müssen, ist, dass sie die Einschränkung erfüllen. Abgesehen davon gibt es keine anderen Einschränkungen hinsichtlich der Größe der Abmessungen. Wir können also frei zwei Werte auswählen und dann die Einschränkung verwenden, um den dritten Wert zu bestimmen.

Wählen wir (x = y = 1). Für diese Werte gibt es keinen anderen Grund, als dass sie „einfach“ zu handhaben sind. Das Einsetzen dieser in die Einschränkung ergibt,

[1 + z + z = 32hspace <0.25in> o hspace<0.25in>2z = 31hspace <0.25in> o hspace<0.25in>z = frac<<31>>< 2>]

Dies ist also ein Satz von Dimensionen, der die Einschränkung erfüllt, und das Volumen für diesen Satz von Dimensionen beträgt

Die neuen Dimensionen ergeben also ein kleineres Volumen und unsere obige Lösung ist in der Tat, die Dimensionen, die ein maximales Volumen der Box ergeben, sind (x = y = z = ,3.266)

Beachten Sie, dass wir im obigen Beispiel nie wirklich Werte für (lambda) gefunden haben. Dies ist für diese Art von Problemen ziemlich Standard. Der Wert von (lambda) ist nicht wirklich wichtig, um zu bestimmen, ob der Punkt ein Maximum oder ein Minimum ist, daher werden wir uns oft nicht darum kümmern, einen Wert dafür zu finden. Gelegentlich benötigen wir seinen Wert, um das System zu lösen, aber selbst in diesen Fällen werden wir ihn nicht verwenden, bis wir den Punkt gefunden haben.

Dieser wird etwas einfacher sein als der vorherige, da er nur zwei Variablen hat. Beachten Sie auch, dass aus der Einschränkung klar hervorgeht, dass der Bereich möglicher Lösungen auf einer Scheibe mit dem Radius (sqrt <136>) liegt, die ein geschlossener und begrenzter Bereich ist, ( - sqrt <136>le x,y le sqrt <136>), und somit wissen wir nach dem Extremwertsatz, dass es einen Minimal- und Maximalwert geben muss.

Hier ist das System, das wir lösen müssen.

[Start5 & ​​= 2lambda x - 3 & = 2lambda y + & = 136ende]

Beachten Sie, dass wir wie im letzten Beispiel nicht (lambda = 0) haben können, da dies die ersten beiden Gleichungen nicht erfüllen würde. Da wir also (lambda e 0) wissen, können wir die ersten beiden Gleichungen nach (x) bzw. (y) lösen. Das gibt,

Das Einsetzen dieser in die Einschränkung ergibt,

Wir können dies nach (lambda) auflösen.

Da wir nun (lambda) kennen, können wir die Punkte finden, die potentielle Maxima und/oder Minima darstellen.

und wenn (lambda = frac<1><4>) erhalten wir,

Um festzustellen, ob wir Maxima oder Minima haben, müssen wir diese nur in die Funktion einfügen. Erinnern Sie sich auch an die Diskussion zu Beginn dieser Lösung, dass wir wissen, dass dies das Minimum und das Maximum sein werden, da der Extremwertsatz uns sagt, dass es für dieses Problem Minimum und Maximum gibt.

Hier sind die minimalen und maximalen Werte der Funktion.

In den ersten beiden Beispielen haben wir (lambda = 0) entweder aus physikalischen Gründen ausgeschlossen oder weil es eine oder mehrere der Gleichungen nicht lösen würde. Erwarten Sie nicht immer, dass dies geschieht. Manchmal können wir einen Wert von (lambda) automatisch ausschließen und manchmal nicht.

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an.

Beachten Sie zunächst, dass unsere Einschränkung eine Summe von drei positiven oder Nullzahlen ist und 1 sein muss. Daher ist es klar, dass unsere Lösung in den Bereich (0 le x,y,z le 1) fällt und so die Lösung muss in einem abgeschlossenen und begrenzten Bereich liegen, und so wissen wir nach dem Extremwertsatz, dass es einen Minimal- und Maximalwert geben muss.

Hier ist das Gleichungssystem, das wir lösen müssen.

Beginnen wir diesen Lösungsprozess mit der Feststellung, dass die ersten drei Gleichungen alle gleich (lambda) haben. Beginnen wir also damit, die Gleichungen (eqref) und (eqref) gleich.

Wir haben hier also zwei Möglichkeiten. Beginnen wir damit, dass (z = 0) angenommen wird. In diesem Fall können wir aus einer der Gleichungen (eqref) oder (eqref), dass wir dann (lambda = 0) haben müssen. Aus Gleichung (eqref) sehen wir, dass dies bedeutet, dass (xy = 0). Dies wiederum bedeutet, dass entweder (x = 0) oder (y = 0) ist.

Wir haben also zwei mögliche Fälle, die wir dort behandeln müssen. Jeweils zwei der Variablen müssen Null sein. Sobald wir dies wissen, können wir in die Nebenbedingung Gleichung (eqref), um den verbleibenden Wert zu finden.

[Startz = 0,,,x = 0 & : & Rightarrow hspace<0.25in>y = 1 z = 0,,,y = 0 & : & Rightarrow hspace<0.25in>x = 1ende]

Wir haben also zwei mögliche Lösungen (left( <0,1,0> ight)) und (left( <1,0,0> ight)).

Gehen wir nun zurück und werfen einen Blick auf die andere Möglichkeit, (y = x). Wir haben auch hier zwei mögliche Fälle zu betrachten.

Dieser erste Fall ist (x = y = 0). In diesem Fall sehen wir aus der Nebenbedingung, dass wir (z = 1) haben müssen und haben nun eine dritte Lösung (left( <0,0,1> ight)).

Der zweite Fall ist (x = y e 0). Stellen wir Gleichungen (eqref) und (eqref) gleich.

Nun haben wir bereits (x e 0) angenommen und somit ist die einzige Möglichkeit (z = y). Dies bedeutet jedoch auch, dass

Wenn Sie dies in der Einschränkung verwenden, erhalten Sie

Die nächste Lösung ist also (left( <3>,frac<1><3>,frac<1><3>> ight)).

Wir erhalten vier Lösungen, indem wir die ersten beiden Gleichungen gleich setzen.

Um dieses Problem vollständig zu lösen, sollten wir wahrscheinlich Gleichungen (eqref) und (eqref) gleich sowie Einstellungsgleichungen (eqref) und (eqref) gleich, um zu sehen, was wir bekommen. Dies gibt,

Beide sind der ersten von uns betrachteten Situation sehr ähnlich und wir überlassen es Ihnen zu zeigen, dass wir in jedem dieser Fälle zu den vier bereits gefundenen Lösungen zurückkehren.

Wir haben also vier Lösungen, die wir in der Funktion überprüfen müssen, um zu sehen, ob wir Minima oder Maxima haben.

In diesem Fall tritt das Maximum also nur einmal auf, während das Minimum dreimal auftritt.

Beachten Sie auch, dass wir bei der tatsächlichen Lösung des Problems nie wirklich die Annahme verwendet haben, dass (x,y,z ge 0) ist. Wir haben es verwendet, um sicherzustellen, dass wir eine geschlossene und begrenzte Region haben, um zu garantieren, dass wir absolute Extrema haben. Um zu sehen, warum dies wichtig ist, schauen wir uns an, was ohne diese Annahme passieren könnte. Ohne diese Annahme wäre es nicht allzu schwierig, Punkte zu finden, die sowohl größere als auch kleinere Werte der Funktionen liefern. Beispielsweise.

An diesen Beispielen können Sie deutlich sehen, dass es nicht allzu schwer ist, Punkte zu finden, die größere und kleinere Funktionswerte ergeben. Alle diese Beispiele erforderten jedoch negative Werte von (x), (y) und/oder (z), um sicherzustellen, dass wir die Einschränkung erfüllen. Wenn wir diese eliminieren, wissen wir, dass wir nach dem Extremwertsatz minimale und maximale Werte haben.

Bevor wir fortfahren, müssen wir ein kurzes Problem ansprechen, das das letzte Beispiel über die Methode der Lagrange-Multiplikatoren veranschaulicht. Wir haben das absolute Minimum und Maximum der Funktion gefunden. Was wir jedoch nicht gefunden haben, sind alle Standorte für das absolute Minimum. Nehmen wir beispielsweise (x,y,zge 0) an, betrachten Sie die folgenden Punktemengen.

Jeder Punkt in dieser Menge von Punkten wird die Randbedingung des Problems erfüllen und in jedem Fall wird die Funktion zu Null ausgewertet und ergibt somit auch das absolute Minimum.

Also, was ist los? Erinnern Sie sich an den vorherigen Abschnitt, dass wir sowohl die kritischen Punkte als auch die Grenzen überprüfen mussten, um sicherzustellen, dass wir die absoluten Extrema hatten. Dasselbe war in Calculus I wahr. Wir mussten sowohl kritische Punkte als auch Endpunkte des Intervalls überprüfen, um sicherzustellen, dass wir die absoluten Extrema hatten.

Es stellt sich heraus, dass wir hier wirklich dasselbe tun müssen, wenn wir wissen wollen, dass wir alle Orte der absoluten Extrema gefunden haben. Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren findet die absoluten Extrema, es kann nur sein, dass sie nicht alle Positionen findet, da die Methode die Endpunkte der Variablenbereiche nicht berücksichtigt (beachten Sie, dass wir bei einigen dieser Punkte Glück haben könnten, aber wir können ' das kann ich nicht garantieren).

Nachdem wir also die Lagrange-Multiplikator-Methode durchgegangen sind, sollten wir uns fragen, was an den Endpunkten unserer variablen Bereiche passiert. Für das Beispiel bedeutet das, sich anzusehen, was passiert, wenn (x=0), (y=0), (z=0), (x=1), (y=1), und (z=1). In den ersten drei Fällen erhalten wir die oben aufgeführten Punkte, die zufällig auch das absolute Minimum ergeben. Für die letzten drei Fälle können wir sehen, dass, wenn eine der Variablen 1 ist, die anderen beiden Null sein müssen (um die Einschränkung zu erfüllen) und diese wurden tatsächlich im Beispiel gefunden. Manchmal wird das passieren und manchmal nicht.

Im Fall dieses Beispiels ergaben die Endpunkte jedes der Variablenbereiche absolute Extrema, aber es gibt keinen Grund, dies jedes Mal zu erwarten. In Beispiel 2 oben zum Beispiel geben die Endpunkte der Bereiche für die Variablen keine absoluten Extrema an (wir lassen Sie dies überprüfen).

Die Moral davon ist, dass wir, wenn wir wissen wollen, dass wir jeden Ort der absoluten Extrema für ein bestimmtes Problem haben, auch die Endpunkte aller Variablenbereiche überprüfen sollten, die wir haben könnten. Wenn uns nur der Wert der absoluten Extrema interessiert, gibt es keinen Grund, dies zu tun.

Okay, es ist Zeit, zu einem etwas anderen Thema überzugehen. Bis jetzt haben wir uns nur Beschränkungen angesehen, die Gleichungen waren. Wir können auch Einschränkungen haben, die Ungleichungen sind. Der Prozess für diese Art von Problemen ist fast identisch mit dem, was wir in diesem Abschnitt bisher gemacht haben. Der Hauptunterschied zwischen den beiden Arten von Problemen besteht darin, dass wir auch alle kritischen Punkte finden müssen, die die Ungleichung in der Einschränkung erfüllen, und diese in der Funktion überprüfen müssen, wenn wir die Werte überprüfen, die wir mit Lagrange-Multiplikatoren gefunden haben.

Lassen Sie uns an einem Beispiel arbeiten, um zu sehen, wie diese Art von Problemen funktioniert.

Beachten Sie, dass die Einschränkung hier die Ungleichung für die Platte ist. Da dies ein geschlossener und begrenzter Bereich ist, sagt uns der Extremwertsatz, dass ein minimaler und ein maximaler Wert existieren müssen.

Der erste Schritt besteht darin, alle kritischen Punkte zu finden, die sich auf der Festplatte befinden (d.h. die Einschränkung erfüllen). Dies ist für dieses Problem einfach genug. Hier sind die beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung.

[Start & = 8x & & Rightarrow hspace<0,25in>,,,8x = 0hspace <0,25in>Rightarrow hspace<0,25in>,,,,,,x = 0 & = 20y & & Rightarrow hspace<0.25in>20y = 0hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>,,,,,,y = 0end]

Der einzige kritische Punkt ist also (left( <0,0> ight)) und er erfüllt die Ungleichung.

An dieser Stelle fahren wir mit Lagrange-Multiplikatoren fort und behandeln die Einschränkung als Gleichheit statt als Ungleichung. Wir müssen uns nur mit der Ungleichung befassen, wenn wir die kritischen Punkte finden.

Hier ist also das Gleichungssystem, das wir lösen müssen.

[Start8x & = 2lambda x 20y & = 2lambda y + & = 4ende]

Aus der ersten Gleichung erhalten wir

Wenn wir (x = 0) haben, dann gibt uns die Einschränkung (y = pm ,2).

Wenn wir (lambda = 4) haben, gibt uns die zweite Gleichung

[20y = 8yhspace <0,25in>Rightarrow hspace<0,25in>,,,y = 0]

Die Einschränkung sagt uns dann, dass (x = pm ,2).

Wenn wir eine ähnliche Analyse der zweiten Gleichung durchgeführt hätten, würden wir zu den gleichen Punkten gelangen.

Lagrange-Multiplikatoren geben uns also vier Punkte zu überprüfen:(left( <0,2> ight)), (left( <0, - 2> ight)), (left( < 2,0> echts)) und (links( < - 2,0> echts)).

Um das Maximum und Minimum zu finden, müssen wir diese vier Punkte einfach zusammen mit dem kritischen Punkt in der Funktion einsetzen.

In diesem Fall lag das Minimum im Inneren der Scheibe und das Maximum am Rand der Scheibe.

Das letzte Thema, das wir in diesem Abschnitt besprechen müssen, ist, was zu tun ist, wenn wir mehr als eine Einschränkung haben. Wir werden uns nur zwei Beschränkungen ansehen, aber wir können die Arbeit hier natürlich auf mehr als zwei Beschränkungen erweitern.

Wir wollen (fleft( ight)) unter den Bedingungen (gleft( ight) = c) und (hleft( echts) = k). Das System, das wir in diesem Fall lösen müssen, lautet:

[Start abla flinks( ight) & = lambda abla gleft( ight) + mu abla hleft( echts) glinks( echts) & = c hlinks( ight) & = kend]

In diesem Fall erhalten wir also zwei Lagrange-Multiplikatoren. Beachten Sie auch, dass die erste Gleichung in Wirklichkeit aus drei Gleichungen besteht, wie wir in den vorherigen Beispielen gesehen haben. Sehen wir uns ein Beispiel für ein solches Optimierungsproblem an.

Die Überprüfung, ob wir hier einen minimalen und maximalen Wert haben, ist etwas schwieriger. Wegen der zweiten Einschränkung müssen wir natürlich ( - 1 le x,y le 1) haben. Vor diesem Hintergrund muss es auch eine Reihe von Grenzen für (z) geben, um sicherzustellen, dass die erste Einschränkung erfüllt ist. Wenn man diesen Bereich wirklich bestimmen wollte, könnte man die minimalen und maximalen Werte von (2x - y) vorbehaltlich ( + = 1) und Sie könnten damit die Minimal- und Maximalwerte von (z) bestimmen. Das werden wir hier nicht tun. Es geht nur darum, anzuerkennen, dass die möglichen Lösungen wiederum in einem geschlossenen und begrenzten Bereich liegen müssen und daher nach dem Extremwertsatz Minimal- und Maximalwerte existieren müssen.

Hier ist das Gleichungssystem, das wir lösen müssen.

Beachten wir zunächst, dass aus Gleichung (eqref) erhalten wir (lambda = 2). Setzen Sie dies in die Gleichung (eqref) und Gleichung (eqref) und Auflösen nach (x) bzw. (y) ergibt,

[Start0 & = 4 + 2mu x & hspace <0.1in>& Rightarrow hspace<0.5in>x = - frac<2> 4 & = - 2 + 2mu y & hspace <0.1in>& Rightarrow hspace<0.5in>y = frac<3>end]

Setze diese nun in die Gleichung (eqref).

Wir haben hier also zwei Fälle zu betrachten. Sehen wir uns zunächst an, was wir erhalten, wenn (mu = sqrt <13>). In diesem Fall wissen wir,

Einsetzen dieser in Gleichung (eqref) gibt,

Sehen wir uns nun an, was wir erhalten, wenn wir (mu = - sqrt <13>) nehmen. Hier haben wir,

Setzen Sie diese in die Gleichung (eqref) gibt,

und es gibt eine zweite lösung.

Jetzt müssen wir nur noch die beiden Lösungen in der Funktion überprüfen, um zu sehen, welche das Maximum und welches das Minimum ist.


Libration

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Libration, in der Astronomie, eine scheinbare oder reale Schwingung eines Satelliten wie des Mondes, dessen Oberfläche folglich von einem Punkt seines Primärkörpers aus zu verschiedenen Zeiten aus verschiedenen Winkeln gesehen werden kann.

Die Breitenverteilung des Mondes tritt auf, weil seine Achse relativ zur Ebene seiner Umlaufbahn um die Erde leicht geneigt ist, was dazu führt, dass der Nord- und der Südpol des Mondes anscheinend abwechselnd leicht in Richtung Erde kippen, wenn sich der Mond durch seine Umlaufbahn bewegt. Die Längslibration des Mondes (ein Hin- und Herdrehen, eine „Kopfschütteln“-Bewegung) resultiert aus seiner Bewegung mit leicht unterschiedlichen Geschwindigkeiten an verschiedenen Punkten seiner Umlaufbahn (gemäß dem zweiten Keplerschen Gesetz).

Diese und andere kleine Librationen ermöglichen es, dass etwa 59 Prozent der Mondoberfläche von der Erde aus gesehen werden können, obwohl sie der Erde zu jeder Zeit fast das gleiche Gesicht zeigt.