Astronomie

Bewegungsgleichungen für Erde und Mond

Bewegungsgleichungen für Erde und Mond


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Eine der einfachsten Versionen der Newtonschen Bewegungsgleichungen für Sonne, Erde und Mond kann durch die Näherung erhalten werden, dass die drei Körper perfekte Kugeln sind. In dieser Näherung ist das Paarpotential zwischen Körper i und j $$frac{-G m_i m_j}{ r_{ij}},$$ wobei $r_{ij}$ der Abstand zwischen den Körpern ist: man kann die Gleichungen numerisch und erhalten die Bahnen.

Dieses einfache Modell beinhaltet nicht mehrere zusätzliche Faktoren, wie z

  • die Tatsache, dass die Erde nicht perfekt kugelförmig ist (äquatoriale Ausbuchtung),
  • Gezeiten der Erde,
  • der Einfluss anderer Himmelskörper,

und andere.

Was ist unter all diesen Faktoren der dominierende Faktor für die Vorhersage der Erdumlaufbahn? Mit anderen Worten, was ist der Hauptfaktor, der in das obige einfache Modell aufgenommen werden sollte, um seine Vorhersagen für die Erdumlaufbahn näher an die Beobachtungen zu bringen?


Eine teilweise Antwort auf meine Frage habe ich vielleicht im Kapitel Navigationsastronomie von 'American Practical Navigator' von N. Bowditch gefunden. Auf Seite 228

[…] Nutation, eine Unregelmäßigkeit in der Bewegung der Erde aufgrund der störenden Wirkung anderer Himmelskörper, vor allem des Mondes

und auf Seite 230

Die Präzession der Erdachse ist das Ergebnis von Gravitationskräften, die hauptsächlich von Sonne und Mond auf die äquatoriale Ausbuchtung der Erde ausgeübt werden. Die sich drehende Erde reagiert auf diese Kräfte nach Art eines Kreisels. Die Regression der Knoten führt bestimmte Unregelmäßigkeiten ein, die als Nutation in der Präzessionsbewegung bekannt sind.

Die dominierenden Effekte bei der Vorhersage der Ausrichtung der Erdachse scheinen also die Elliptizität der Erde in Kombination mit der Anziehungskraft von Sonne und Mond zu sein.


Bewegungsgleichungen für Erde und Mond - Astronomie

Gravitationskräfte zwischen Erde und Mond

Klassenstufe: Physik des Gymnasiums

Hamilton County Department of Education High School Kursmarkierungen 9-12, 2002-2003 4.H.1- Wenden Sie die Konzepte von Kräften, Bewegung, Energie, Elektrizität und Magnetismus auf das Studium der Erde und des Universums an.

Jedes Materieteilchen im Universum zieht jedes andere Teilchen mit einer Kraft an, die direkt proportional zum Produkt der Massen der Teilchen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen ist. Isaac Newton stellte die Hypothese auf, dass jedes Objekt mit Masse immer eine anziehende Gravitationskraft auf alle anderen massiven Objekte ausübt. Je massiver das Objekt ist, desto stärker ist seine Anziehungskraft. Das Studium der Planetenbewegungen offenbart einen weiteren Aspekt der Gravitationskraft. Die Gravitationskraft (Anziehung) zwischen zwei Objekten nimmt mit zunehmendem quadratischem Abstand voneinander ab. Newtons Gleichung zur Berechnung der Gravitationskraft ist equation

wobei F die Gravitationskraft in Newton (N) ist, G die Gravitationskonstante in Nm 2 /Kg 2 , m1 die Masse von Objekt 1 in kg ist, m2 die Masse von Objekt 2 in kg ist und r 2 das Quadrat ist Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten der Objekte in Metern (m).

  • Zweck des Produkts - Der Zweck dieses Produkts besteht darin, dass der Schüler das Konzept der Gravitationskraft anwenden und die Newton-Gleichung verwenden kann, um die Gravitationskraft auf etwas Relevantes (die Gravitationskraft zwischen Erde und Mond) zu berechnen.
  • Vorangegangene und nachfolgende Ereignisse - Vor dieser Aktivität lernen die Schüler den Unterschied zwischen Masse und Gewicht, definieren und berechnen Masse aus Volumen und Dichte und verstehen die Krafteinheit Newton. Die folgenden Veranstaltungen umfassen Labore, Aktivitäten und Lektionen zu anderen Konzepten von Kräften, Bewegung und Energie.
  • Produkt zur Verbesserung des Lernens - Dieses Produkt verbessert die mathematischen Fähigkeiten des Schülers und erweitert sein Verständnis der Gravitationskräfte. Es wird dem Studenten auch die Möglichkeit geben, das Konzept der Masse (das in der Physik wichtig ist) auf sehr relevante und praktische Weise anzuwenden.
  • Produktverbesserung oder -erweiterung - Dieses Produkt könnte um die Berechnung der Gravitationskräfte anderer Planeten und Monde in unserem Sonnensystem erweitert werden. Die bei dieser Aktivität verwendeten Prinzipien und Berechnungen können auch auf die Anziehung zwischen Atomen und Molekülen in der Chemie angewendet werden.

In dieser Aktivität müssen Sie die richtigen Daten über die Erde und ihren Mond sammeln, um die Newton-Gleichung verwenden und die Gravitationskraft zwischen ihnen berechnen zu können. Sie benötigen einen Taschenrechner, Papier und einen Bleistift. Nach der Newtonschen Gleichung zur Berechnung der Gravitationskraft (F) benötigen Sie vier Informationen:

    in Nm 2 /kg 2 .
  1. Die Masse von Objekt 1 (m1), in diesem Fall die Masse der Erde in Kilogramm (Kg).
  2. Die Masse von Objekt 2 (m2), im Fall die Masse des Erdmondes in Kilogramm (Kg).
  3. Die durchschnittliche Entfernung vom Erdmittelpunkt zum Mondmittelpunkt in Metern (m).

Nachdem Sie nun die richtigen Informationen für die Gleichung erhalten haben, berechnen Sie die Gravitationskraft zwischen Erde und Mond.

Die Gravitationskraft zwischen Erde und Mond im durchschnittlichen Abstand zwischen ihnen kann als F ausgedrückt werden. Wird der Wert von F für die folgenden Änderungen der Masse oder des Abstands oder beidem konstant bleiben, erhöht oder verringert? Berechnen Sie F für jede der folgenden Änderungen, wobei die nicht erwähnten Faktoren unverändert bleiben:

  • Die Masse des Mondes wird verdoppelt.
  • Die Masse der Erde wird verdoppelt.
  • Sowohl die Masse der Erde als auch die des Mondes werden verdoppelt.
  • Der Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden wird verdoppelt.
  • Beide Massen werden verdoppelt und der Abstand halbiert.

Die Gravitationskraft zwischen Erde und Mond = F= (G x m1 x m2) / r 2 =

  1. Die Gravitationskonstante (G) = .
  2. Die Masse der Erde (m1) = .
  3. Die Masse des Mondes (m2) = .
  4. Die durchschnittliche Entfernung vom Erdmittelpunkt zum Mondmittelpunkt beträgt .
  5. Wenn die Masse des Mondes verdoppelt würde, wäre F = .
  6. Würde die Erdmasse verdoppelt, wäre F = .
  7. Wenn sowohl die Masse der Erde als auch die des Mondes verdoppelt werden, wäre F = .
  8. Wenn der Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden verdoppelt wird, wäre F = .
  9. Wenn die Massen von Erde und Mond verdoppelt werden, wäre F = .

In dieser Aktivität ist der Schüler in der Lage, Masse in einer praktischen Anwendung der Gravitationskraft zwischen Erde und Mond zu verwenden. Der Student berechnet die Gravitationskraft anhand der Newtonschen Gleichung für die Gravitationskraft zwischen zwei Objekten. Der Student berechnet auch Gravitationskräfte mit unterschiedlichen Massen von Erde und Mond sowie unterschiedlichen Abständen zwischen Erde und Mond.

  • Booth, V.H. (1962). Physikalische Wissenschaft, eine Studie über Materie und Energie. New York, NY: Die Macmillan Company.
  • Chaisson, E., & McMillan, S. (2002). Astronomie heute. Oberer Saddler River, NJ: Prentice Hall.
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  • Bell, E. V. (2003). NSSDC-Fotogalerie. Abgerufen am 31. März 2003 von http://nssdc.gsfc.nasa.gov/image/planetary/earth/gal_earth_moon.jpg

Die Gravitationskraft zwischen Erde und Mond = F= (G x m1 x m2) / r 2 = 1,99 x 10 20


Überprüfen Sie Ihr Verständnis

1. Ein Satellit umkreist die Erde. Welche der folgenden Variablen beeinflusst die Geschwindigkeit des Satelliten?

2. Verwenden Sie die unten stehenden Informationen und die obige Beziehung, um das T 2 /R 3 -Verhältnis für die Planeten um die Sonne, den Mond um die Erde und die Monde des Saturn um den Planeten Saturn zu berechnen. Der Wert von G beträgt 6,67 × 10 –11 Nm 2 /kg 2 .

  1. T 2 /R 3 für Planeten um die Sonne
  2. T 2 /R 3 für Mond über Erde
  3. T 2 /R 3 für Monde um Saturn

3. Mimas ist ein Saturnmond. Der durchschnittliche Orbitalradius von Mimas beträgt 1,87x10 8 m und seine Umlaufzeit beträgt ungefähr 23 Stunden (8,28x10 4 s). Verwenden Sie das T 2 /R 3 -Verhältnis, um die Masse von Saturn zu bestimmen.

4. Ein Satellit befindet sich in einer erdnahen Umlaufbahn in einer Höhe von 220 km über der Erdoberfläche. Bestimmen Sie anhand der folgenden Informationen die Umlaufgeschwindigkeit des Satelliten.

5. Das Space Shuttle umkreist die Erde in 400 km Höhe. Verwenden Sie die Informationen in der vorherigen Frage, um die Umlaufgeschwindigkeit und die Umlaufdauer des Space Shuttles zu bestimmen.


Ptolemäische Astronomie im Mittelalter

Ptolemäische Astronomie, also die Astronomie des Claudius Ptolemäus Mathematische Zusammenstellung, (Μαθηματικη Συνταξι&sigmaf) synthetisierte die Bemühungen von etwa fünfhundert Jahren, um das Beobachtete zu erklären Bewegungen der Sterne, Sonne und Planeten unter der Annahme, dass ihre Eigenbewegungen gleichförmig und kreisförmig waren und dass die Erde unbeweglich im Zentrum des rotierenden Universums lag. Um die Mitte des zweiten Jahrhunderts u. Z. komponiert und später bei arabischen und lateinischen Lesern als Almagest, Das große System des Ptolemäus hatte bis zur Veröffentlichung von Nicholas Copernicus weder Nachfolger noch Rivalen. De revolutionibus orbium coelestium im Jahr 1543. Der Großteil der technischen Astronomie in den dazwischenliegenden 1400 Jahren, sowohl im Nahen Osten als auch in Europa, war der Berechnung von Tabellen und dem Entwurf von Instrumenten gewidmet, die die Lehrsätze und Berechnungen des Ptolemäus in Almanache, Horoskope und Planetarien übersetzten. Während islamische Astronomen einige systematische Beobachtungen durchführten, die darauf abzielten, Lücken in Ptolemäus zu schließen, insbesondere in seiner Behandlung von Langzeitbewegungen wie der Präzession, konzentrierten sich die Europäer darauf, das System für eine Vielzahl von Benutzern zugänglich und nützlich zu machen.

Vor der Etablierung des universitären Curriculums in Europa zirkulierte die ptolemäische Astronomie getrennt von dem geozentrischen Weltbild, auf dem sie basierte und von dem sie ursprünglich ihre Aufgabe übernommen hatte. In dem Timäus (ca. 350 v. Chr.) Platon hatte zuerst das kinetische Modell einer kugelförmigen Erde entworfen, die unbeweglich im Zentrum einer riesigen rotierenden Kugel ruht, die die Fixsterne enthält und eine verschachtelte Reihe konzentrischer Kugeln umfasst, von denen jede einen der "Wandersterne" oder Planeten trägt ( einschließlich der Sonne) auf seinem eigenen Weg durch die Sterne. Obwohl sich jede Kugel gleichförmig drehte, ließ die Kombination ihrer einzelnen Drehungen von der Erde aus gesehen den Anschein von Unregelmäßigkeiten in den Bewegungen der Sonne und der Planeten entstehen. In der Lage, eine grobe qualitative Darstellung der kombinierten täglichen und jährlichen Bewegungen der Sonne zu geben, überließ Platon den Astronomen die Aufgabe, das Modell für alle Planeten zu formulieren und es mathematisch an die Daten anzupassen, die babylonische und griechische Beobachter über mehrere Jahrhunderte hinweg gesammelt hatten . Das war die Aufgabe, die Ptolemäus schließlich erledigte.

Doch seit Platons Zeit zweifelte praktisch niemand am geozentrischen Modell selbst, egal wie genau es mit Beobachtungsdaten übereinstimmte. Wie Aristoteles ausführlicher in seinem Auf den Himmeln, Vernunft und allgemeine Erfahrung bestätigten es. Philosophen, Dichter, Kirchenväter, Pädagogen und Enzyklopädisten sprachen alle vom Universum so, wie es Platon beschrieben hatte, und verschönerten sein Bild gelegentlich mit der Nomenklatur und einfacheren mathematischen Merkmalen der technischen Astronomie, wie sie sich entwickelte. Obwohl solche Verzierungen auf die kompliziertere Version des Modells der Astronomen hinwiesen, lieferten sie nicht genügend Details, um die Fachliteratur zu ersetzen. Sie machten jedoch den Zugang zu dieser Literatur für das vollständige Verständnis der allgemeinen Konten erforderlich.

Als sozial fragiles Unternehmen überlebte die mathematische und beobachtende Astronomie die Gärung des späten Kaiserreichs im Westen nicht. Bis zur Übersetzung des Almagest ins Lateinische - aus dem Griechischen 1160, aus dem Arabischen 1175 - schöpften die europäischen Leser ihr Weltbild von den Enzyklopädisten und den Dichtern und brauchten daher, mangels fortwährender technischer Tradition, auch kein Werk so ausgefeilt wie die von Ptolemäus noch die Grundlage für ihr Verständnis. In den nächsten drei Jahrhunderten Almagest selbst unter einer recht kleinen Zahl von Mathematikern zirkulierte, während vereinfachte Fassungen seines Inhalts einem breiteren gelehrten Publikum, insbesondere an den Universitäten, dienten. Diese Versionen nahmen zwei Grundformen an, De spera und Theorica planetarum.

Abhandlungen über die Sphäre, von denen Johannes de Sacrobosco (ca. 1220) wurde zum Standard, der den Studenten die strukturellen Elemente des geozentrischen Universums und die Rudimente des mathematischen Modells darlegte, das seine astronomischen Phänomene erklärt. Obwohl die Texte im Detail variierten, begannen sie im Allgemeinen mit mathematischen Definitionen der Sphäre und mit den grundlegenden metaphysischen und empirischen Argumenten, die sie zur Form der Erde und des Himmels machten. Sie wandten sich dann den Großkreisen zu, die Linien und Bezugspunkte am Himmel liefern: Äquator oder Äquinoktialkreis, Himmelspole, Tierkreis oder zeichentragender Kreis (Ekliptik), koluri (Meridiane durch die Äquinoktial- und Sonnenwendepunkte), Horizont, Zenit und so weiter. Wie es in einem Universitätstext zu erwarten war, wurden die Definitionen von Synonymen und Etymologien begleitet, deren Erläuterung eine der offensichtlichen Aufgaben der Sphärenliteratur erfüllte, nämlich die Exegese von Passagen in der klassischen und patristischen Literatur, in denen die verschiedenen Begriffe vorkommen, oder werden angespielt. Bevor beispielsweise das Aufgehen und Untergehen der Tierkreiskonstellationen (und damit der Sonne mit ihnen) anhand einer gleichförmig rotierenden Kugel, die von einem festen, schiefen Horizont geschnitten wird, erklärt, behandelte Sacrobosco kurz drei andere Maßnahmen des Phänomens "nach dem Dichter", und sogar in seiner Hauptdiskussion häufig von Virgil, Ovid und Lucan zitiert.

Die Bewegung der Sonne nach Osten entlang der Ekliptik kombiniert mit der Drehung der Sterne nach Westen entlang des Äquators, um jahreszeitlichen Änderungen der Tageslichtlänge Rechnung zu tragen, während der Bewegungskreis der Sonne leicht aus der Mitte in Richtung Zwillinge verschoben wird, angepasst um die Ungleichung von die Jahreszeiten. Die daraus resultierenden Extreme von Apogäum und Perigäum der Sonne erklärten für Sphärenschreiber auch, warum die arktischen Regionen zu kalt und die Südhalbkugel zu heiß ist, um bewohnbar zu sein. Stundenunterschiede in der Länge des Sonnenwendetages. Eine weitere sehr langsame Bewegung der Himmelssphäre um die Pole der Ekliptik erzeugte in einigen Berichten die allmähliche Verschiebung oder Präzession der Äquinoktial- und Sonnenwendepunkte nach Osten entlang des Tierkreises, z. Robert Grossetestes (ca. 1215-1230), wurde dieses ptolemäische Gerät durch Thâbit b ersetzt. Qurras komplizierterer Mechanismus für ungleichmäßige Präzession oder Beklommenheit (siehe unten).

Mit dem für Sonne und Sterne aufgestellten kinetischen Modell wandten sich Abhandlungen über die Sphäre kurz dem Mond und den Planeten zu, deren verschiedene Zyklen komplexere Anordnungen der beweglichen Sphären und die Verwendung von zwei neuen Geräten erfordern, dem Epizykel und dem Equant. Diese bildeten das Herzstück der ptolemäischen Astronomie und bildeten sowohl die Grundlage ihrer Präzision als auch den Ausgangspunkt für ihre Abkehr vom strengen Geozentrismus. Doch gerade hier eilten Schriftsteller der Sphäre durch ihre Präsentationen. "Jeder Planet außer der Sonne hat einen Epizykel", schrieb Sacrobosco, "und ein Epizykel ist ein kleiner Kreis, entlang dessen Umfang der Planet getragen wird, und das Zentrum des Epizykels wird immer entlang des Umfangs des Deferenten getragen." Durch die bloße Einführung der Namen der Geräte und ihrer Komponenten konnte er nur vage andeuten, in welcher Beziehung sie zu den von ihnen geretteten Phänomenen standen, insbesondere zur rückläufigen Bewegung der Planeten und zu Mond- und Sonnenfinsternissen.

Als Teil des künstlerischen Curriculums sind die Traktate de spera repräsentieren, was die meisten gebildeten Leute über die ptolemäische Astronomie wussten oder wissen sollten. Sie legten das Vokabular fest und vermittelten ein allgemeines, qualitatives Gefühl dafür, wie die grundlegenden mathematischen Geräte die himmlischen Erscheinungen erklärten. Aber sie lieferten weder Demonstrationen der Mathematik noch Anweisungen, um die Geräte mit den in den verschiedenen astronomischen Tabellen enthaltenen Beobachtungsdaten zu verknüpfen. Für die Vorführungen musste der neugierige Student des dreizehnten oder vierzehnten Jahrhunderts noch die Almagest selbst für Anweisungen konnte er sich leicht zugänglichen Abkürzungen mit dem allgemeinen Titel "Theorie der Planeten" zuwenden.


Die Theorie begann mit dem aus bekannten Modell der Sonnenbewegung de spera (Abb. 1). Die Sonne bewegt sich gleichmäßig in der Ebene der Ekliptik entlang des Umfangs eines Kreises, dessen Mittelpunkt vom Mittelpunkt der Welt entlang der Apogäums- und Perigäumslinie (die Punkte der langsamsten und schnellsten Bewegung, hier genannt aux und oppositio augis beziehungsweise). Die beiden Bezugszentren führen zu zwei Maßen für den Sonnenstand motus, oder Längengrad entlang der Ekliptik vom konventionellen Startpunkt 0 o Arietis (Frühlings-Tagundnachtgleiche). Das Mittel motus um das Zentrum des Exzenters nimmt gleichmäßig mit einer Rate zu, die durch die Division von 360 ° durch die Länge des Sonnenjahres in Tagen festgelegt wird. Der wahre motus über die Erde unterscheidet sich vom Mittelwert um einen Betrag, der als "Sonnengleichung" bezeichnet wird und im Laufe des Jahres als Funktion des Mittelwerts variiert motus und die auch von der Exzentrizität (dem Abstand e zwischen den beiden Zentren) und der Länge der Apsidenlinie abhängt. Werte für den Mittelwert motus und die Gleichung waren in den astronomischen Tabellen enthalten, und ihre Summe (oder manchmal Differenz) ergab das wahre motus.
Der Mond und die Planeten erforderten viel kompliziertere Anordnungen, für die der Epizykel von grundlegender Bedeutung war (Abb. 2). Der Körper wurde dazu gebracht, sich auf einem kleinen Kreis zu bewegen, dem Epizykel, dessen Mittelpunkt sich selbst auf einem Kreis, dem Deferenten, um den Mittelpunkt der Welt bewegte. In den meisten Fällen war der Deferent ein exzentrischer Kreis wie der der Sonne. Im Fall des Mondes (Abb. 3) bildete die exzentrische Deferente selbst einen großen Epizykel, der sich auf einer kleineren Deferente drehte, die auf der Erde zentriert war. Ausgehend von einer Startposition der Konjunktion mit der Sonne drehte sich das Zentrum des Deferenten von Ost nach West um etwa 11 oa Tag, das Zentrum des Epizykels von West nach Ost um etwa 13oa Tag (in Bezug auf die Erde) und die Mond auf dem Epizykel in der gleichen Richtung wie der Deferent bei etwa 24 oa Tag. (Infolge der ersten beiden Bewegungen lag die mittlere Sonne immer in der Mitte zwischen dem Mittelpunkt des Mondepizykels und dem Apogäum seines Deferenten.)
Gleichmäßige Bewegung auf dem Epizykel (Mittelwertargument) wurde aus seinem Mittelwert gemessen aux, ein Punkt, der durch eine Linie bestimmt wird, die von einem Punkt gegenüber dem Mittelpunkt des Deferenten auf seinem kleinen Kreis gezogen wird. Addiert zu (oder während der Hälfte des Zyklus subtrahiert von) der "Gleichung des Zentrums" oder Differenz zwischen Mittelwert aux und wahr aux (bestimmt durch eine Linie von der Erde durch das Zentrum des Epizykels) wurde das mittlere Argument in das wahre Argument umgewandelt. Letzteres führte dann zu einer "Argumentgleichung", die zusammen mit dem mittleren Motus des Epizykelzentrums wiederum den wahren Motus des Mondes ergab. Auch hier waren in den Tabellen Mittelwerte und Gleichungen zu finden, die auf mathematischen Berechnungen mit den festen Parametern des Mondes beruhten.
Die drei "äußeren" Planeten (Mars, Jupiter, Saturn) hatten jeweils einen festen exzentrischen Deferenten, aber die Bewegung des Epizykelzentrums von West nach Ost entlang ihm wurde in Bezug auf das Zentrum eines anderen Kreises, des Equants, gleichförmig gemacht. Dieses Zentrum lag auf der Apsislinie, die die Erde und das Zentrum des Deferenten verband (Abb. 4).

Die Linie vom Zentrum des equants durch den Epizykel bestimmt dessen Mittelwert hilf, von dem aus das mittlere Argument des Planeten gemessen wurde, von Westen nach Osten ansteigend. Ansonsten wurden die Parameter der Planetenbewegung wie im Mondmodell definiert, außer dass die Argumentgleichung und die Zentrumsgleichung immer gleich waren. Zwei zusätzliche Punkte erforderten eine besondere Identifizierung auf dem Epizykel des Planeten, nämlich die Punkte in der unteren Hälfte, zwischen denen die Geschwindigkeit des Planeten bei seiner Bewegung nach Osten der Westbewegung des Epizykels entlang des Deferenten entgegenwirkte, wodurch der Körper, von der Erde aus gesehen, ostwärts bewegte , stoppen Sie und nehmen Sie dann seine normale Westbewegung wieder auf. Diese Stationspunkte begrenzten den Bogen der rückläufigen Bewegung.

Nach dem Muster der Almagest, dann ist jedes Modell der of theorica planetarum analysierte die "wahren" Erscheinungen der Erde in einen Verbund aus mittleren Bewegungen und kompensierenden Gleichungen und zeigte umgekehrt, wie solche Parameter in tatsächlich beobachtbare Messungen übersetzt wurden. Aber während die Almagest stellte auch die Apparatur zur Verfügung, um diese Parameter aus den Beobachtungsdaten kombiniert mit der Mathematik der Modelle zu berechnen (und damit nebenbei an den Modellen zu basteln), die Theorie ging davon aus, dass die Leser Zugriff auf eine der verschiedenen Tabellen hatten, die im Mittelalter getrennt von ihrem Prototyp in der Almagest und das spiegelte in der gemischten Provenienz ihrer Daten die spätere Berührung italienischer und islamischer Hände wider.

Zu einem unabhängigen Genre gehörend, ist eine Reihe von Tabellen (genannt a zîj in arabischer Sprache) hatte eigene begleitende Anweisungen oder Kanons und konnte ohne Bezugnahme auf die Modelle verwendet werden. Die ersten Tabellen, die nach Europa kamen, stammten von dem arabischen Astronomen und Mathematiker al-Khwarazmi aus dem neunten Jahrhundert, der 1126 von Adelard von Bath ins Lateinische übertragen wurde. Etwas später gesellte sich eine weitere Reihe hinzu, die Toledan Tables, die im Allgemeinen (aber unsicher) dem Astronomen al-Zarqal (Arzachel) aus dem 11. In den 1260er Jahren ordnete Alfonso X. von Spanien die Erstellung von Tabellen an, die als universelle vorläufige Berechnungen konzipiert waren, die es dem Benutzer ermöglichten, Meridian und Epoche anzupassen. Nur in der Form erhalten, die ihnen Johannes de Lineriis und sein Schüler Johannes de Saxonia in Paris in den 1320er Jahren gegeben hatten, und in der Regel von den Kanonen des einen oder anderen Herausgebers begleitet, blieben die Alfonsinischen Tafeln bis zum 16. Jahrhundert der Standard der europäischen Astronomie.

Die Verwendung der Tabellen mit dem Verständnis der dahinter stehenden Modelle wurde durch Versionen der theorica planetarum die die Modelle direkt in Recheninstrumente übersetzten. Der früheste von ihnen im Westen war Campanus von Novaras Äquatoriumra(ca. 1260), die Anweisungen zum Zusammensetzen von Sätzen von abgestuften Scheiben zu physikalischen Modellen der Planetenkreise gab. Mit jeder Scheibe dann aus den Tabellen auf den entsprechenden Mittelwert setzen motus, der wahre Platz eines Planeten erschien unter einer Schnur, die sich von der Mitte des Instruments über die Markierung des Planeten auf der Epizykelscheibe bis zur ekliptischen Skala auf dem Rand erstreckte. Inspiriert vielleicht von arabischen Instrumenten, erfuhr das Äquatorium insbesondere im 14. und 15. Jahrhundert eine Verbesserung. Campanus' separate Modelle wurden zu einem einzigen Mechanismus zusammengeführt, der alle möglichen Kombinationen von Kreisen ermöglichte.

Die Ersetzung der Mathematik durch die Mechanik im allgemeinen Verständnis und Gebrauch der ptolemäischen Astronomie durch die mittelalterlichen Europäer legte eine Betonung auf ihre Kohärenz als Gesamtstruktur, eine Betonung, die durch das Wissen um Ptolemaios eigenen Versuch einer Vereinigung in seiner Planetare Hypothesen und von ähnlichen Bemühungen arabischer Kosmologen wie al-Farghani (Alfraganus) al-Bitruji (Alpetragius). Von solchen strukturellen Bedenken, aber im Allgemeinen kritisch, waren die Schriften späterer europäischer Kosmologen, die sich Sorgen über die Unvereinbarkeit der ptolemäischen Astronomie mit der aristotelischen Physik machten. Der Titel eines populären Werkes dieser Gattung von Heinrich von Langenstein verrät die Quelle der Besorgnis: De reprobatione ecentricorum et epiciclorum, in einigen Manuskripten auch als einfach bezeichnet Contra theoricam planetarum. Die ptolemäische Astronomie im Mittelalter diente eher praktischen und pädagogischen als theoretischen. Schriftsteller zielten darauf ab, Tische und Instrumente zu entwerfen, anstatt systematische Beobachtungen durchzuführen, die darauf abzielten, das System zu artikulieren und zu verbessern. Meistens waren es damals nur Astrologen, die Astronomie brauchten, um bei der Bestimmung der Planetenpositionen frei von Wetter- und Standortschwankungen zu sein. Erst im späten 15. Jahrhundert mit den Werken von Johannes Regiomontanus (insbesondere seiner Vollendung von George Peurbachs Inbegriff Almagesti), fing die theoretische mathematische Astronomie an, um ihrer selbst willen wissenschaftliches Interesse zu wecken und eine Rückkehr in die Almagest selbst. Dann hatte das ptolemäische System, das vielleicht gerade durch die oben erwähnten mechanischen und kosmologischen Bedenken getrieben wurde, nur eine kurze Zukunft.


Wie Isaac Newton die Welt veränderte

Als das kleine Baby Isaac in einem englischen Dorf der Liliputaner geboren wurde, früh genug und klein genug, um in einen Quarttopf zu passen, wurde nicht erwartet, dass er überleben würde.

Zur wahrscheinlichen Bestürzung einiger verwirrter Mathematik- und Physikstudenten auf der ganzen Welt lebte Isaac Newton nicht nur, er wuchs auf und lebte lange genug, um der einflussreichste Wissenschaftler des 17. Jahrhunderts zu werden.

Newtons vielfältige Entdeckungen, von seinen Theorien der Optik bis hin zu seinen bahnbrechenden Arbeiten zu den Gesetzen von Bewegung und Gravitation, bildeten die Grundlage für die moderne Physik.

Das wahre Genie seiner Arbeit, meinen Experten, liegt darin, wie er diese Theorien letztendlich auf das Universum als Ganzes anwendete und die Bewegungen der Sonne und der Planeten auf eine noch nie dagewesene Weise erklärte.

Gesetze geboren in der Pest Law

Das gängige Bild von Isaac Newton ist das eines weißhaarigen Wissenschaftlers, der am Fuß eines Baumes kauert. Als Newton von einem fallenden Apfel auf den Kopf gestoßen wird, träumt Newton luftig die Gesetze der Schwerkraft aus und der Rest ist, wie sie sagen, Geschichte.

An der Apfellegende ist wahrscheinlich nur ein bisschen Wahrheit, sagen Historiker, aber Newton war bereits vor diesem angeblichen Obstvorfall an der Universität Cambridge mitten in einigen sehr wichtigen Entdeckungen.

Isaac Newton wurde im Jahr 1642, dem Todesjahr Galileis, geboren und zeigte schon in jungen Jahren Interesse an formaler Bildung – zu dieser Zeit keine Selbstverständlichkeit – und nicht an der Landwirtschaft. Als die schwarze Pest ab 1665 die Cambridge University, an der er studierte, für zwei Jahre schloss, verbrachte er die langen Monate zu Hause eingesperrt und studierte komplexe Mathematik, Physik und Optik.

In dieser fruchtbaren Zeit entdeckte Newton mit Hilfe eines Kristallprismas als erster, dass weißes Licht aus einem Farbspektrum besteht . Er entwickelte auch das Konzept der Infinite-Reihen-Rechnung, die Art von gruseliger Mathematik, die heute von Ingenieuren und Statistikern studiert wird.

Bis 1666 hatte Newton sogar die Blaupausen für seine drei Bewegungsgesetze gelegt, die immer noch von Physikstudenten überall rezitiert werden:

  • Ein Objekt bleibt in einem Trägheitszustand, es sei denn, es wird gewaltsam darauf reagiert.
  • Die Beziehung zwischen Beschleunigung und aufgebrachter Kraft ist F=ma.
  • Für jede Aktion gibt es eine gleiche und entgegengesetzte Reaktion.

Was Newton bis zu diesem Zeitpunkt nicht verstand und die nächsten zwei Jahrzehnte damit verbringen würde, zu studieren, war, wie sich diese Bewegungsgesetze auf Erde, Mond und Sonne bezogen und ein Konzept, das er "Schwerkraft" nannte.

Einfach das Universum erklären

Angeregt und finanziert von dem Astronomen Edmond Halley, der ebenfalls in Cambridge den Weg eines heute berühmten Kometen beobachtete, vertiefte sich Newton in den 1670er und 80er Jahren in die Erforschung der Gravitationskraft.

Das Ergebnis von Newtons Forschungen war sein 1687 veröffentlichtes bahnbrechendes Werk, das Principia, das von vielen als das größte wissenschaftliche Buch angesehen wird, das je geschrieben wurde.

Über die Seiten der Principia, zerlegt Newton die Funktionsweise des Sonnensystems in "einfache" Gleichungen und erklärt damit die Natur der Planetenbahnen und die Anziehungskraft zwischen Himmelskörpern. In der Beschreibung, warum der Mond die Erde umkreist und nicht umgekehrt (weil die Erde so viel schwerer ist), hat das Buch buchstäblich die Art und Weise verändert, wie die Menschen das Universum sahen.


Python-Programm

Lassen Sie mich nur meinen Code für diese Berechnung durchgehen. Zuerst gehe ich davon aus, dass Sie vpython bereits installiert haben. Oh, Sie wissen nicht, was das ist? Vpython ist Python (die Programmiersprache) zusammen mit einem visuellen Modul. Das visuelle Modul enthält tolle Sachen, um einige 3D-Objekte und andere Denkweisen wie die Vektorklasse zu erstellen. Natürlich gibt es auch das browserbasierte Äquivalent von vpython - Glowscript. Glowscript führt Browser aus, die WebGL unterstützen. Ehrlich gesagt ist Glowscript ziemlich cool, aber ich vergesse immer, es zu verwenden.

Auf zum Programm. Hier ist der erste Teil.

Die erste Zeile lädt nur das visuelle Modul. Der Rest dieses Zeugs sind nur Konstanten, die ich verwenden werde. Das ist einfach, oder? Hier ist der nächste Teil.

Die Funktion "Kugel" in vpython erstellt ein 3D-Bild einer Kugel. Hier habe ich die Erde und die Mondkugeln mit ihren Positionen wie gezeigt gemacht. Ich habe die Erde auf die Position (0, 0, 0) Meter gesetzt. Dies ist der Ursprung des Universums, wie es ursprünglich beabsichtigt war. Es gibt auch die Radius- und Farbparameter, von denen ich vermute, dass sie für sich allein Sinn machen. Der "make_trail" ist eine nette Funktion, die das Objekt dazu bringt, eine Spur zu hinterlassen, während es sich bewegt. Ich denke, das ist auch offensichtlich.

Nachdem ich ein Objekt wie Erde und Mond erstellt habe, kann ich diesen Objekten andere Eigenschaften zuweisen. Hier ordne ich Erde.m als Masse des Objekts zu. Oh sicher, Ich hätte Mich einfach weiterhin für die Masse der Erde benutzen können, aber dies ist einfacher, den Überblick zu behalten.

Was ist mit der Sonne? Ich habe die Sonne nur zu einem Ort und nicht zu einem Objekt gemacht. Auf diese Weise kann ich diesen Wert für Berechnungen verwenden, aber Vpython versucht nicht, ihn in die Anzeige aufzunehmen.

Wenn es Sie glücklich macht, können Sie das Programm an dieser Stelle speichern und ausführen. Normalerweise mache ich das nur, um sicherzustellen, dass noch nichts aus dem Gleichgewicht geraten ist.

Was ist hier los? Um die obigen Schritte in einer numerischen Berechnung zu verwenden, müssen Sie irgendwo anfangen. Sie müssen auch mit etwas Schwung beginnen. Das macht dieser Teil. Es legt die Anfangsbedingungen für den Impuls von Erde und Mond fest. Der erste Teil besteht darin, die Winkelgeschwindigkeit der Erde (oder des Mondes) während ihrer Umlaufbahn zu berechnen. Da ich nur die Größe der Winkelgeschwindigkeit möchte, kann ich die Gravitationskraft auf diesem Planeten gleich der Impulsänderung für den Fall einer Kreisbewegung setzen.

Dies zeigt die Berechnung für die Winkelgeschwindigkeit der Erde, der Mond ist im Wesentlichen dasselbe. Oh, die r in der obigen Gleichung ist die Entfernung von der Erde zur Sonne. Sobald ich die Winkelgeschwindigkeit (für eine perfekt kreisförmige Umlaufbahn) habe, kann ich den Impuls der Erde einfach als Masse der Erde mal ωr für die Geschwindigkeit berechnen. In diesem Fall habe ich die Erde in y-Richtung bewegt. Für den Mond brauche ich seine Geschwindigkeit relativ zur stehenden Sonne, nicht nur relativ zur Erde. Deshalb habe ich die Geschwindigkeit der Erde im Impuls des Mondes hinzugefügt.

Nun zum eigentlichen Teil des Programms.

I don't think this needs much explanation. I guess I could say something about the tmonth variable. This is the approximate length of a month. That way, I don't have to let the model run for a whole year - what would be the point of that?

So now you have an Earth-Sun-moon model. You can try changing some of the parameters to see what happens. If you like, could modify the program to include the motion of the Sun due to the interaction with the Earth. How much would the Sun move and how difficult would it be to detect this motion?


Equations of motion for Earth and Moon - Astronomy

Run my Java Applets for detailed lunar (and solar) data.

You may run my programs for private not commercial use only.

Please enable Java in your browser preferences.

Applet Version
Sun, Moon & Earth 5.79
SunMoon Horizon 0.90
MoonPhases 3.3
MoonYear 3.1
Moon Data 1.3
Elevation & Azimuth 0.96
Moon 1.4
Moon Motion 2.1
SunMoon Map 1.17
Moon Distance
0.98
Moon Libration 0.999
MoonLight
1.20
Elevation & Azimuth of the Sun 0.982
Elevation & Azimuth of the Sun & Moon
0.97

This interactive applet displays the positions of the Sun and Moon on the horizon for any date, time and location, and on a world map with day and night regions. The times of rise and setting, the declination, the Greenwich hour angle of sun and moon, the equation of time, and more data are computed.


Moon: The Earth-Moon System

The moon is the earth's nearest neighbor in space. In addition to its proximity, the moon is also exceptional in that it is quite massive compared to the earth itself, the ratio of their masses being far larger than the similar ratios of other natural satellites to the planets they orbit (though that of Charon and the dwarf planet Pluto exceeds that of the moon and earth). For this reason, the earth-moon system is sometimes considered a double planet. It is the center of the earth-moon system, rather than the center of the earth itself, that describes an elliptical orbit around the sun in accordance with Kepler's laws. It is also more accurate to say that the earth and moon together revolve about their common center of mass, rather than saying that the moon revolves about the earth. This common center of mass lies beneath the earth's surface, about 3,000 mi (4800 km) from the earth's center.

The moon was studied, and its apparent motions through the sky recorded, beginning in ancient times. The Babylonians and the Maya, for example, had remarkably precise calendars for eclipses and other astronomical events. Astronomers now recognize different kinds of months, such as the synodic month of 29 days, 12 hr, 44 min, the period of the lunar phases, and the sidereal month of 27 days, 7 hr, 43 min, the period of lunar revolution around the earth.

As seen from above the earth's north pole, the moon moves in a counterclockwise direction with an average orbital speed of about 0.6 mi/sec (1 km/sec). Because the lunar orbit is elliptical, the distance between the earth and the moon varies periodically as the moon revolves in its orbit. At perigee, when the moon is nearest the earth, the distance is about 227,000 mi (365,000 km) at apogee, when the moon is farthest from the earth, the distance is about 254,000 mi (409,000 km). The average distance is about 240,000 mi (385,000 km), or about 60 times the radius of the earth itself. The plane of the moon's orbit is tilted, or inclined, at an angle of about 5° with respect to the ecliptic. The line dividing the bright and dark portions of the moon is called the terminator.

As the moon orbits the earth, the amount of its illuminated surface that can be seen from the earth changes. When none of the lighted half can be seen, because the moon is between the earth and sun, the moon is said to be new. For a few days before and after a new moon we can see a small part, or crescent, of the lighted half. When the moon has completed half its orbit from new moon to new moon, it is on the opposite side of the earth from the sun and we see the entire lighted half, or the full moon. When the moon has completed either one quarter or three quarters of its orbit from new moon to new moon, half the lighted side, the half-moon, is visible. The half-moon between the new and full moon is the first quarter and that between the full and new moon is the last quarter. Between a full moon and half-moon we see more than half the lighted side, or a gibbous moon. A blue moon is a second full moon in a calendar month a black moon is a second new moon in a calendar month, or a calendar month with no full moon.

Due to the earth's rotation, the moon appears to rise in the east and set in the west, like all other heavenly bodies however, the moon's own orbital motion carries it eastward against the stars. This apparent motion is much more rapid than the similar motion of the sun. Hence the moon appears to overtake the sun and rises on an average of 50 minutes later each night. There are many variations in this retardation according to latitude and time of year. In much of the Northern Hemisphere, at the autumnal equinox, the harvest moon occurs moonrise and sunset nearly coincide for several days around full moon. The next succeeding full moon, called the hunter's moon, also shows this coincidence.

Although an optical illusion causes the moon to appear larger when it is near the horizon than when it is near the zenith, the true angular size of the moon's diameter is about 1⁄2°, which also happens to be the sun's apparent diameter. This coincidence makes possible total eclipses of the sun in which the solar disk is exactly covered by the disk of the moon. An eclipse of the moon occurs when the earth's shadow falls onto the moon, temporarily blocking the sunlight that causes the moon to shine. Eclipses can occur only when the moon, sun, and earth are arranged along a straight line—lunar eclipses at full moon and solar eclipses at new moon.

The gravitational influence of the moon is chiefly responsible for the tides of the earth's oceans, the twice-daily rise and fall of sea level. The ocean tides are caused by the flow of water toward the two points on the earth's surface that are instantaneously directly beneath the moon and directly opposite the moon. Because of frictional drag, the earth's rotation carries the two tidal bulges slightly forward of the line connecting earth and moon. The resulting torque slows the earth's rotation while increasing the moon's orbital velocity. As a result, the day is getting longer and the moon is moving farther away from the earth. The moon also raises much smaller tides in the solid crust of the earth, deforming its shape. The tidal influence of the earth on the moon was responsible for making the moon's periods of rotation and revolution equal, so that the same side of the moon always faces earth.

The Columbia Electronic Encyclopedia, 6th ed. Copyright © 2012, Columbia University Press. All rights reserved.


The Renaissance

By the 16th century, scholars began to notice that the theory of impetus was ill suited for describing many phenomena &mdash in particular, projectiles flung from catapults and cannons. According to the theory, a projectile should fly through the air until it runs out of impetus, whereupon it should fall straight to the ground. In reality, the path of a projectile is a very specific curve. To make sense of these observations, according to Bernard Cohen in "The Birth of a New Physics" (Norton, 1985), scientists began to think about gravity pulling on objects with uniform acceleration. In his 1638 publication, "Dialogues Concerning Two New Sciences," Galileo Galilei (1564-1642) published the first mathematical proof that uniform acceleration would cause projectiles to move in parabolic trajectories that matched observations, thus showing that terrestrial mechanics are governed by mathematics.

Similarly, and also in the 16th century, celestial mechanics was shown to have extremely strong ties to mathematics. According to David S. Landes in "Revolution in Time" (Belknap, 1983), Tycho Brahe (1546-1601) was one of the first astronomers to use clocks capable of counting minutes and seconds, along with quadrants and sextants, to track the movements of celestial objects (the telescope had not yet been adapted from the naval spyglass). Johannes Kepler (1571-1630) based his three laws of planetary motion, on Brahe's data for the motion of Mars. The first of these laws, published in his 1609 work, "Astronomia Nova," showed that planets move in elliptical paths around the sun.


Equation of Motion by Graphical Method

Question 2 A body goes around the sun with constant speed in a circular orbit.Is the motion uniform or accelerated?

Question 3 A satellite goes around the earth in a circular orbit with constant speed.Is the motion uniform or accelerated?

Question 4 Give examples of circular motion?

Question 5 What is a centripetal force.Give example?

Question 6 A cyclist goes around a circular track once every 5 minute.If the radius of the circular track is 110 meters,calculate his speed?

Question 7 Derive first equation of motion by graphical method?

Question 8 Derive second equation of motion by graphical method?

Question 9 Derive third equation of motion by graphical method?

Uniform Circular Motion

When a body moves in a circle, it is called circular motion.
When a body moves along a circular path,then its direction of motion keeps on changing continuously.
Sine the velocity changes (due to continuous change in direction) therefore the motion along a circular path is said to be accelerated.
When a body moves in a circular path with uniform speed its motion is called uniform circular motion.
The velocity of the body moving in a circle with uniform speed is not uniform because the direction of motion is constantly changing.

For Example :
A stone tied to a thread is rotated in circular path with uniform speed in clockwise direction.
A ———>Speed is directed towards east.
B ———>Speed is directed towards south.
Since there is change in direction of speed,the velocity is not uniform.
The motion in a circle with constant speed is an example of accelerated motion.
The force which is needed to make an object travel in circular path is called centripetal force.

For Example :
1) Movement of artificial satellite around earth .
2) Motion of moon around earth.
3) Motion of earth around sun.
4) Tip of seconds hand of a watch.
5) Athlete moving on a circular path.

The speed of a body moving along a circular path is given by:

Equation of motion by graphical method.

1) Derivation of v=u +at
Initial velocity u at A =OA
Velocity changes from A To B in time t(uniform acceleration a)
Final Velocity v=BC
BC=BD+DC
v=BD+AO
v=BD+u
Slope of velocity time graph is equal to acceleration a.
a= BD
a=BD/AD
a=BD/t
BD = at
v=u+at

2) Derivation of S = ut +1/2 x at 2

The distance travelled by the body is given by area of the space between velocity time graph AB and time axis OC , which is equal to area of figure OABC.
Distance travelled=Area of figure OABC
= Area of rectangle OADC + Area of triangle ABD
=(OA x OC) + 1/2 x AD x BD)
=(u x t) + (1/2 x t x at)
S = ut + 1/2 x at 2

3) Derivation of v 2 = u 2 + 2as

The distance travelled by body in time t is given by area of figure OABC (which is a trapezium)
s = Area of trapezium OABC
s= Sum of parallel sides x height / 2
s= (OA+OB) x OC / 2
s=(u+v) x t /2
v=u + at
at = v – u
t= v-u /a
s= (u+v) x (v- u)/2a
2as = v 2 – u 2
v 2 = u 2 + 2as


Schau das Video: mars sløjfebevægelse facit (Juni 2022).


Bemerkungen:

  1. Esrlson

    Es scheint mir, dass das die ausgezeichnete Idee ist

  2. Jory

    Diese Idee ist veraltet

  3. Steadman

    Meiner Meinung nach ist dies offensichtlich. Haben Sie versucht, Google.com zu durchsuchen?

  4. Sicheii

    einige von ihnen sind zu süß ...

  5. Mujas

    Sie wurden mit hervorragender Idee besucht

  6. Gajas

    Worüber soll man hier sprechen?



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