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Ich versuche, Gaussianer an mehrere Linien in einem Spektrum anzupassen, das ich habe. Einige von ihnen überschneiden sich, so dass das von mir verwendete Anpassungsprogramm keine vernünftigen Schätzungen für die Fehler bei den Messungen abgeben kann. Zum Beispiel wird manchmal die Breite der Spektrallinie 0,5 GHz angegeben, aber die Unsicherheit bei 1.000 GHz.
Um dies zu beheben, habe ich manuelle Schätzungen für diejenigen vorgenommen, die es nicht erhalten kann. Ich habe gelesen, dass Sie den Fehler auf der Spitze der Gauß-Funktion abschätzen können mit:
Spitzenfehler = (1/2)*(Breite / Signal-Rausch-Verhältnis)
Aber ich finde nichts für die Höhe oder Breite. Gibt es ähnliche Möglichkeiten, die Unsicherheit dieser Messungen abzuschätzen?
Vielen Dank.
Wenn Sie die Anzahl der überlappenden Gauss-Funktionen kennen, können Sie sie schreiben als $sum_{i=1}^n a_ie^{-(frac{x-mu_i}{sigma_i})^2}$, dann subtrahieren Ihre Zeitreihen mit mehr als $3i$ Elementen, um das Risiko eines falsch gestellten Problems zu verringern. Wenden Sie dann eine Methode zur Minimierung des quadratischen Mittelwerts (RMS) / der Methode der kleinsten Quadrate an, um die $3i$-Parameter abzuleiten. Wenn bekannt ist, dass Ihr FWHM oder $sigma$ für alle Peaks gleich ist, reduziert sich Ihre Anzahl der Parameter auf $2i+1$.
Siehe auch Rietveld-Verfeinerung als verwandten Ansatz.
Sie können scipy.optimize.curve_fit verwenden: Diese Methode liefert nicht nur die geschätzten optimalen Werte der Parameter, sondern auch die entsprechende Kovarianzmatrix:
Optimale Werte für die Parameter, damit die Summe der quadrierten Residuen von f(xdata, *popt) - ydata minimiert wird
Die geschätzte Kovarianz von popt. Die Diagonalen liefern die Varianz der Parameterschätzung. Um einen Standardabweichungsfehler für die Parameter zu berechnen, verwenden Sie perr = np.sqrt(np.diag(pcov)).
Wie sich der Sigma-Parameter auf die geschätzte Kovarianz auswirkt, hängt vom Argument absolute_sigma ab, wie oben beschrieben.
Wenn die Jacobi-Matrix bei der Lösung keinen vollen Rang hat, dann gibt die 'lm'-Methode eine mit np.inf gefüllte Matrix zurück, andererseits verwenden die 'trf'- und 'dogbox'-Methoden die Moore-Penrose-Pseudoinverse, um die Kovarianz zu berechnen Matrix.
Sie können die Standardabweichungsfehler der Parameter aus den Quadratwurzeln der diagonalen Elemente der Kovarianzmatrix wie folgt berechnen:
Gaußsche Verteilungsfunktion
Wenn die Anzahl der Ereignisse sehr groß ist, kann die Gaußsche Verteilungsfunktion verwendet werden, um physikalische Ereignisse zu beschreiben. Die Gaußsche Verteilung ist eine stetige Funktion, die die exakte Binomialverteilung von Ereignissen approximiert.
Die gezeigte Gauß-Verteilung ist normalisiert, so dass die Summe über alle Werte von x eine Wahrscheinlichkeit von 1 ergibt. Die Natur der Gauß-Verteilung ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 0,683, innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert zu liegen. Der Mittelwert ist a=np, wobei n die Anzahl der Ereignisse und p die Wahrscheinlichkeit eines ganzzahligen Wertes von x ist (dieser Ausdruck wird von der Binomialverteilung übernommen). Der verwendete Standardabweichungsausdruck ist auch der der Binomialverteilung.
Die Gaußsche Verteilung wird im Allgemeinen auch als "Normalverteilung" bezeichnet und oft als "glockenförmige Kurve" beschrieben.
Diese Berechnung dient zur Auswertung von Mittelwert und Standardabweichung und zur Berechnung des Wertes der Verteilungsfunktion, wenn ein Wert x geliefert wird. Wenn Sie beispielsweise 100 Münzwürfe für die Anzahl der "Kopf" auswerten, dann wäre die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Münzwurf 0,5 und der Mittelwert der Köpfe für 100 Münzwürfe wäre 50. Aber die Standardabweichung wäre 5, also sollten Sie eine Wahrscheinlichkeit von 0,683 haben, zwischen 45 und 55 Köpfe zu haben. Die Wahrscheinlichkeit, genau 50 Köpfe zu haben, wäre ungefähr 0,08. Wenn Sie jedoch den Wert der Verteilungsfunktion für Werte von 45 bis 55 auswerten und diese summieren, beträgt die Summe 0,7295, sodass diese Anzahl von Ereignissen nicht groß genug ist, damit die Gaußsche Näherung genaue Ergebnisse liefert. Die Durchführung derselben Reihe von Berechnungen unter Verwendung der Binomialverteilung ergibt 0,7287, sodass keine Berechnung für diese Stichprobengröße der theoretischen Gauss-Projektion entspricht.
Beim Anpassen einer Gauß-Funktion ist die korrekte Berechnung von μ und σ eine große Sache. Sie haben Ihre Referenz zitiert (danke!), sind ihr aber nicht gefolgt. Bitte importieren Sie Mathematik und ersetzen Sie diese beiden Zeilen in Ihrem Code:
(Es stellt sich heraus, dass die Anpassung immer noch gut konvergiert, wenn der Mittelwert eine Zahl zwischen -7200 und 10.000 ist, und ähnlich für positive Sigmas unter 805.)
Möglicherweise finden Sie lmfit (http://lmfit.github.io/lmfit-py/) für diese Art von Problem nützlich. Es verfügt über integrierte Modelle für gängige Peakformen wie Gaussian und vereinfacht viele Kurvenanpassungsaufgaben. Ihr Beispiel würde so aussehen (Daten überspringen):
die den Fit-Bericht von . ausdrucken würde
und erstellen Sie einen Plot, der eine gute Passform zeigt.
Beachten Sie, dass die Definition von Gaussian etwas anders ist und Ihr a dem oben aufgeführten Wert der Höhe entsprechen würde. Der als Amplitude aufgeführte Wert wäre die integrierte Fläche.
Die Regeln für die Weiterleitung von Fehlern gelten für Fälle, in denen wir uns im Labor befinden, aber die Weiterleitung von Fehlern ist zeitaufwändig. Die Regeln für bedeutende Zahlen ermöglichen eine viel schnellere Methode, um ungefähr korrekte Ergebnisse zu erhalten, selbst wenn wir keine Unsicherheitswerte haben.
Eine signifikante Zahl ist eine beliebige Ziffer von 1 bis 9 und eine beliebige Null, die kein Platzhalter ist. Somit gibt es in 1.350 4 signifikante Ziffern, da die Null nicht benötigt wird, um die Zahl zu verstehen. In einer Zahl wie 0,00320 gibt es 3 signifikante Ziffern – die ersten drei Nullen sind nur Platzhalter. Die Zahl 1350 ist jedoch mehrdeutig. Sie können nicht sagen, ob es 3 signifikante Ziffern gibt – die 0 wird nur verwendet, um die Einheitenstelle zu halten – oder ob es 4 signifikante Ziffern gibt und die Null an der Einheitenstelle tatsächlich als Null gemessen wurde.
Wie lösen wir Mehrdeutigkeiten, die bei Nullen entstehen, wenn wir die Null sowohl als Platzhalter als auch als signifikante Zahl verwenden müssen? Angenommen, wir messen eine Länge bis zu drei signifikanten Ziffern als 8000 cm. Auf diese Weise geschrieben, können wir nicht sagen, ob es 1, 2, 3 oder 4 signifikante Zahlen gibt. Um die Anzahl der signifikanten Ziffern sichtbar zu machen, verwenden wir die wissenschaftliche Schreibweise, 8 x cm (mit einer signifikanten Ziffer) oder 8,00 x cm (mit drei signifikanten Ziffern) oder was auch immer unter den gegebenen Umständen richtig ist.
Wir beginnen dann mit Zahlen mit jeweils einer eigenen Anzahl signifikanter Ziffern und berechnen eine neue Größe. Wie viele signifikante Zahlen sollten in der endgültigen Antwort enthalten sein? Wenn wir laufende Berechnungen durchführen, behalten wir Zahlen für viele Ziffern bei, aber wir müssen die Antwort nur für die richtige Anzahl signifikanter Ziffern angeben.
Bei Addition und Subtraktion können wir dies am besten an einem Beispiel erklären. Angenommen, ein Objekt hat eine Masse von 9,9 g und ein zweites Objekt wird auf einer anderen Waage mit einer Masse von 0,3163 g gemessen. Was ist die Gesamtmasse? Wir schreiben die Zahlen mit Fragezeichen an Stellen, an denen uns Informationen fehlen. Also 9.9. g und 0,3163? gm. Wenn wir sie mit den aufgereihten Dezimalpunkten hinzufügen, sehen wir
Im Fall der Multiplikation oder Division können wir die gleiche Idee von unbekannten Ziffern verwenden. Somit ist das Produkt von 3,413? und 2,3? kann mit langer Hand geschrieben werden als
Die kurze Regel für Multiplikation und Division lautet, dass die Antwort eine Anzahl signifikanter Ziffern enthält, die der Anzahl signifikanter Ziffern in der eingegebenen Zahl mit der geringsten Anzahl signifikanter Ziffern entspricht. Im obigen Beispiel hatte 2.3 2 signifikante Ziffern, während 3.413 4 hatte, also wird die Antwort auf 2 signifikante Ziffern gegeben.
Es ist wichtig, diese Konzepte im Hinterkopf zu behalten, wenn Sie Taschenrechner mit 8- oder 10-stelliger Anzeige verwenden, um Fehler in Ihren Antworten zu vermeiden und den Zorn von Physiklehrern überall zu vermeiden. Ein gutes Verfahren besteht darin, alle Ziffern (signifikant oder nicht) während der Berechnungen zu verwenden und die Antworten nur auf die entsprechende "Sig-Figur" abzurunden.
Problem: Wie viele signifikante Zahlen gibt es jeweils in den folgenden? Antworten
(i) 0,00042 (ii) 0,14700 (ii) 4,2 x (iv) -154.090 x
Formel zur Berechnung der Anzahl der theoretischen Platten
N, die Anzahl der theoretischen Böden, ist ein Index zur Bestimmung der Leistung und Effektivität von Kolonnen und wird nach Gleichung (1) berechnet.
・・・1) wobei tr: Retentionszeit und W: Peakbreite
Diese Peakbreite W basiert auf den Basislinienabschnitten von Tangentenlinien an einen Gaußschen Peak, der der Peakbreite bei 13,4 % der Peakhöhe entspricht.
Um jedoch die Berechnung zu vereinfachen und nicht-Gaußsche Spitzen zu berücksichtigen, werden die folgenden Berechnungsverfahren in der Praxis verwendet.
1. Tangentiallinienmethode
Die Peakbreite ist der Abstand zwischen Punkten, an denen Linien, die zu den linken und rechten Wendepunkten des Peaks tangential sind, die Basislinie schneiden und wird unter Verwendung von Gleichung (1) berechnet. Die USP (United States Pharmacopeia) verwendet diese Methode. Dies führt zu kleinen N-Werten, wenn die Spitzenüberlappung groß ist.
Dies stellt auch ein Problem dar, wenn der Peak verzerrt ist, so dass er mehrere Wendepunkte hat.
2. Methode mit halber Spitzenhöhe
Die Breite berechnet sich aus der Breite bei halber Peakhöhe (W0.5). Da die Breite leicht von Hand berechnet werden kann, ist es die am weitesten verbreitete Methode. Diese Methode wird von DAB (Deutsches Arzneibuch), BP (British Pharmacopeia) und EP (Europäisches Arzneibuch) verwendet.
Die 15. Revision des Japanischen Arzneibuchs, die im April 2006 herausgegeben wurde, änderte den Koeffizienten von 5,55 auf 5,54.
(LCsolution ermöglicht die Auswahl des Koeffizienten über die Einstellung [Column Performance], wobei die Berechnungsmethode für 5,54 "JP" und für 5,55 "JP2" ist.
Für breitere Peaks führt die Methode der halben Peakhöhe zu größeren N-Werten als andere Berechnungsmethoden.
3. Flächenhöhenmethode
Die Breite wird aus der Peakfläche und den Höhenwerten berechnet. Dieses Verfahren liefert selbst für verzerrte Peaks relativ genaue und reproduzierbare Breiten, führt jedoch zu etwas größeren N-Werten, wenn die Peaküberlappung signifikant ist.
4. EMG-Methode (Exponential Modified Gaussian)
Diese Methode führt Parameter ein, die die Asymmetrie von Peaks berücksichtigen, und verwendet die Peakbreite bei 10 % der Peakhöhe (W0.1). Da es eine Breite nahe der Basislinie verwendet, führt es zu N Werten, die größer sind als bei anderen Methoden für breite Peaks. Außerdem kann die Breite nicht berechnet werden, es sei denn, der Peak ist vollständig getrennt.
・・・4) a0.1: Breite der ersten Hälfte des Scheitels bei 10 % Höhe b0.1: Breite der zweiten Hälfte des Peaks bei 10 % Höhe
Vergleich der Berechnungsmethoden
Bei einer gegebenen Gaußschen Spitze führt jedes dieser Berechnungsverfahren zu demselben N-Wert. Normalerweise neigen Peaks jedoch zu einem gewissen Tailing, was zu unterschiedlichen N-Werten für verschiedene Berechnungsmethoden führt.
Daher wurden die vier Berechnungsmethoden anhand von Chromatogrammen verglichen. Profil A zeigt ein typisches Chromatogramm (mit etwas Tailing), während Profil B ein Chromatogramm mit signifikantem Tailing zeigt. Die nach den vier Methoden berechnete theoretische Bodenzahl ist in der folgenden Tabelle angegeben. Die Ergebnisse für N variierten sogar für Chromatogramm A. Außerdem können Peaks mit stärkerer Verzerrung, wie etwa bei Peak 1 in Profil B, zu N-Werten führen, die sich um ein Vielfaches unterscheiden.
Ein Schlüsselfaktor für die Durchführung einer zuverlässigen quantitativen Analyse ist, ob eine Trennung möglich ist oder nicht. Daher gibt es eine allgemeine Meinung, dass eine Berechnungsmethode, die breitere Peaks, wie z. B. mit Tailing, strenger beurteilt, praktischer ist. Leider scheint es jedoch keinen Konsens über die Meinungen zu N und W zu geben.
Wenn eine bestimmte Methode bereits zur Auswertung verwendet wird, ist es daher wahrscheinlich vorzuziehen, dieselbe Methode weiter zu verwenden, um eine Korrelation zu erzielen.
| EIN (ungefähr typischer Peak) | B (erhebliches Tailing) | |||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| Halbe Peak-Höhe-Methode | 15649 | 20444 | 20389 | 22245 | 5972 | 7917 | - | 9957 |
| Tangentiale Linienmethode | 14061 | 18516 | 20309 | 21447 | 5773 | 7692 | 5795 | 9707 |
| Flächenhöhenmethode | 13828 | 19207 | 17917 | 21020 | 4084 | 7845 | 6217 | 8641 |
| EMG-Methode | 10171 | 15058 | 14766 | 17836 | 1356 | - | - | 4671 |
Ein Bindestrich weist darauf hin, dass eine Berechnung nicht möglich war. Bei der Methode der halben Peakhöhe wurde 5,54 als Koeffizient verwendet.
Die LC-Workstation-Software von Shimadzu kann Leistungsberichte unter Verwendung einer der oben genannten Methoden ausgeben - 1. Tangentenlinie, 2. halbe Peakhöhe (5,54), 2'. halbe Peakhöhe (5,55), 3. Flächenhöhe oder EMG. Wir empfehlen, die entsprechenden Säulenleistungsergebnisse zusammen mit den Analyseergebnissen aufzuzeichnen!
Schätzen Sie die Peakbreite aus einem Vektor, der eine Überlagerung einer unbekannten Anzahl identischer Gaußscher Peaks mit unterschiedlichen Höhen ist?
Wenn Sie einen Vektor haben, der eine Überlagerung einer unbekannten Anzahl identischer gaußförmiger Spitzen/Impulse unbekannter Breite (aber alle dieselbe Breite) und unterschiedlicher Amplituden (mit Poisson- oder Gauß-Rauschen) ist, kennt jemand eine Methode, um dies abzuleiten? Breite?
Z.B. Lassen Sie uns eine Überlagerung von Gaußschen Peaks der Breite 5 in R simulieren:
Wenn ich dieses (nicht negative) Signal in diesem Diagramm messe, möchte ich dann abschätzen können, dass die (konstante) Peakbreite w der überlagerten Gaußschen Peaks in diesem Fall 5 beträgt (ohne a priori ihre Amplituden/Höhen oder die wahren . zu kennen Anzahl der Peaks oder deren Position, jedoch unter der Annahme, dass alle gleich geformt, aber unterschiedlich skaliert sind). Hat jemand eine Idee, wie man das am effizientesten macht? Wäre dies möglich z.B. aus der DFT oder so? Oder durch Schätzen eines spärlichen Spike-Zugs basierend auf einer Kovariatenmatrix/einem Wörterbuch mit zeitlich verschobenen Gaußschen Spitzen unterschiedlicher Breite und Überprüfen, welche Klasse von Spitzenbreiten am häufigsten ausgewählt wird, beispielsweise basierend auf orthogonaler Übereinstimmungsverfolgung oder einer LASSO-Regression? Irgendwelche Gedanken? Ich brauche nur eine grobe Schätzung, es muss nicht genau sein, aber ich möchte, dass es schnell geht.
BEARBEITEN: Ein Algorithmus, den ich kenne, der aber mehr tut, als ich will, indem er eine einzelne beste Peakform schätzt, die das Signal erklärt, ist der von de Rooi & Eilers (2011), der in diesem R-Code implementiert ist:
Für L0 norm penalized regularized / best subset selection habe ich auch diesen Artikel gefunden, der meiner Meinung nach eine Weiterentwicklung der Eilers-Methode ist:
Probleme mit diesem Algorithmus sind, dass (1) die Anpassung in Bezug auf die Konvergenzeigenschaften nicht sehr stabil ist, (2) es zwei Regularisierungsparameter zu tun gibt, (3) dass die Peakform nicht auf Gaußsche beschränkt ist (könnte durch Anpassung gelöst werden Gaussian auf der abgeleiteten Peakform nach jeder Iteration, aber vielleicht gibt es einen besseren Weg??) und (4) der Algorithmus ist langsam (150 s für dieses kleine Beispiel auf meinem Laptop). Idealerweise suche ich etwas Robusteres und Schnelleres.
Bildseitenverhältnis
Die Anpassung von Verhältnissen an eine Vielzahl von Medien ist für Designer oft eine Herausforderung, insbesondere wenn sie Inhalte zuschneiden und konvertieren müssen.
Zum Glück habe ich eine Seitenverhältnis-Rechner macht die Sache einfacher. Wenn Sie an einem digitalen Video arbeiten, ist es unbedingt erforderlich, die Dateien des digitalen Videos zunächst zu komprimieren, um Holen Sie sich die genauen Abmessungen (oder Seitenverhältnisse) des Videos.
Dies erfordert viele Berechnungen. Und hier kommt ein Seitenverhältnis-Rechner ins Spiel, um diese Berechnungen genau zu machen. Um genaue Formate für Ihr Video zu erhalten, geben Sie einfach eine Dimension ein und der Rechner berechnet die andere Dimension.
Wie schätzen Sie den Fehler bei der Höhe/Breite einer Gauß-Funktion ein? - Astronomie
- Bestimmtes Integral (High School Material):
- Höhe des Rechtecks 1 = f(a + 0×width)
- Höhe des Rechtecks 2 = f(a + 1×width)
- Höhe des Rechtecks 3 = f(a + 2×width)
- .
- Höhe des Rechtecks n&minus1 = f(a + (n&minus2)×width)
- Höhe des Rechtecks n = f(a + (n&minus1)×width)
|
Sie werden nichts ändern.
In den Kerl fahren. Maladtsa !!!!!!
Wacker, was für ein Satz ... der ausgezeichnete Gedanke
Prikona, positiv
Ich entschuldige mich, aber meiner Meinung nach haben Sie nicht Recht. Schreiben Sie mir in PM, wir werden diskutieren.
Die Nachricht kompetent :), kognitiv ...
Vielen Dank an Sie, eine sehr relevante Notiz.